[論文レビュー] Time in Quantum Mechanics

C. A. Moyer|arXiv (Cornell University)|May 23, 2013

Quantum Mechanics and Applications参考文献 5被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、ハミルトニアンを時間移動演算子として用いることで生成される状態の時間基底（「時間状態」または「量子歴史」とも呼ばれる）を用いて、時間を物理的観測可能量として扱う、新しい量子力学的枠組みを提案する。パウリの定理により、半有界ハミルトニアンに対して自己随伴な時間演算子が存在できないとされるが、本論文は、任意の系において時間状態が完全かつユニタリな基底を形成することを示し、POVMを用いたイベント時刻の統計的記述を可能にする。主な貢献は、時間演算子が一貫して定義できない場合でさえも、量子歴史を位置や運動量の基底に対する正当な代替手段として確立することにある。

ABSTRACT

The failure of conventional quantum theory to recognize time as an observable and to admit time operators is addressed. Instead of focusing on the existence of a time operator for a given Hamiltonian, we emphasize the role of the Hamiltonian as the generator of translations in time to construct time states. Taken together, these states constitute what we call a timeline, or quantum history, that is adequate for the representation of any physical state of the system. Such timelines appear to exist even for the semi-bounded and discrete Hamiltonian systems ruled out by Pauli's theorem. However, the step from a timeline to a valid time operator requires additional assumptions that are not always met. Still, this approach illuminates the crucial issue surrounding the construction of time operators, and establishes quantum histories as legitimate alternatives to the familiar coordinate and momentum bases of standard quantum theory.

研究の動機と目的

• 量子力学における時間の基礎的問題に取り組むこと。ここで時間は通常、観測可能量ではなくパラメータとして扱われる。
• パウリの定理により時間は観測可能量になれないという従来の見解に挑戦すること。
• 半有界または離散的ハミルトニアンを有する系ですら、任意の量子系に対して完全かつユニタリな時間状態基底を構築すること。
• 時間状態が有効な量子歴史基底を形成することを示し、イベント時刻の統計的予測を可能にすること。
• 時間基底と時間演算子の違いを明確にし、後者を定義可能とする条件を特定すること。

提案手法

• 実数の系時刻 τ でラベル付けされた時間状態 |τ⟩ を導入し、ハミルトニアンが時間移動を生成することを要請する：|τ+α⟩ = exp(−iĤα)|τ⟩。
• 恒等演算子の分解を用いて時間基底の完全性を確立する：∫|τ⟩⟨τ|dτ = 1。
• 時間基底の共変性を導出する：⟨τ|ψ(t)⟩ = ⟨τ−t|ψ(0)⟩ であり、時間移動不変性を保証する。
• 時間基底を用いて、自己随伴な時間演算子を必要としないイベント時刻測定のPOVMを定義する。
• 自己随伴な時間演算子が存在する条件を分析し、それらが常に満たされるわけではないことを示す。
• 自由粒子（3次元）にこの形式的枠組みを適用し、標準的な時間演算子を導出し、[T̂, Ĥ] = i を確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 パウリの定理により自己随伴な時間演算子が存在できない場合でも、任意の量子系に対して完全かつユニタリな時間状態基底を構築できるか？
• RQ2 時間演算子を仮定せずに、量子力学においてイベント時刻の分布を一貫して記述する方法は何か？
• RQ3 時間基底と自己随伴な時間演算子の存在との関係は何か？
• RQ4 3次元自由粒子に対して時間演算子を構築できるか。また、ハミルトニアンと標準的交換関係 [T̂, Ĥ] = i を満たすか？
• RQ5 時間基底は、時間演算子が存在しない場合でも、標準的な位置・運動量基底に対する物理的に意味のある代替手段を提供できるか？

主な発見

• 半有界または離散的ハミルトニアンを有する系を含め、すべての量子系に対して時間状態 |τ⟩ の基底が存在し、パウリの定理を回避する。
• 時間基底は恒等演算子の分解と共変性を満たし、イベント時刻の統計的予測が一貫して保証される。
• 時間基底は弱い意味で直交し、任意の物理的状態を ∫⟨φ|τ⟩⟨τ|ψ⟩dτ として表現可能である。
• 3次元自由粒子に対して、時間演算子 T̂_3d-free を構築し、[T̂, Ĥ] = i が満たされることを示した。
• 自己随伴な時間演算子が存在しない場合でも、時間基底は位置・運動量基底に対する有効な代替手段を提供する。
• 時間基底の存在は、時間演算子の存在を意味しない。追加の物理的・数学的条件が必要である。