[論文レビュー] Time in relativistic and nonrelativistic quantum mechanics

Hrvoje Nikolić|arXiv (Cornell University)|Nov 12, 2008

Quantum Mechanics and Applications参考文献 7被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、時間と空間を等価に扱うために、波動関数 ψ(x,t) の4次元ヒルベルト空間を用いて、相対論的・共変な量子力学の形式を提案する。長年の時間演算子の問題を解決し、時間固有状態が物理的でないものの、ド・ブロイ＝ボーム解釈が一貫性を保ち、相対論的共変性を有することを示す。これにより、量子力学における測定および確率の基礎的問題に新たな解決を提供する。

ABSTRACT

The kinematic time operator can be naturally defined in relativistic and nonrelativistic quantum mechanics (QM) by treating time on an equal footing with space. The spacetime-position operator acts in the Hilbert space of functions of space and time. Dynamics, however, makes eigenstates of the time operator unphysical. This poses a problem for the standard interpretation of QM and reinforces the role of alternative interpretations such as the Bohmian one. The Bohmian interpretation, despite of being nonlocal in accordance with the Bell theorem, is shown to be relativistic covariant.

研究の動機と目的

• 時間と空間を等価に扱う相対論的共変な時間演算子を、量子力学に定義する基礎的問題を解決すること。
• 標準的量子力学における時間固有状態の動的不整合性を解消すること。
• ド・ブロイ＝ボーム解釈が、物理的でない固有状態を有するにもかかわらず、時間演算子が意味を持つ一貫した枠組みを提供することを示すこと。
• 時空波動関数を用いて、クライン＝ゴルドン方程式の相対論的共変な確率的解釈を確立すること。
• 非局所性にもかかわらず、ド・ブロイ＝ボーム解釈が相対性理論と整合することを、明示的に共変な形式で示すこと。

提案手法

• 時間 t が乗法演算子として作用する、関数 ψ(x,t) の4次元ヒルベルト空間を導入する。
• 時空位置演算子を4ベクトル xμ として定義し、時間成分 T = t とし、運動エネルギー演算子 Ê = i∂/∂t を定義する。
• スカラー積 ⟨ψ|ψ′⟩ = ∫d⁴x ψ*(x)ψ′(x) を用いて、基本的な時空確率 dP = |ψ(x)|²d⁴x を定義する。
• 相対論的保存方程式 ∂|ψ|²/∂s + Σₐ ∂ₐμ(|ψ|²vᵃμ) = 0 を導出し、粒子軌道に沿った確率保存を保証する。
• ド・ブロイ＝ボーム軌道方程式 dXᵃμ/ds = vᵃμ(X₁,…,Xₙ) を構成し、vᵃμ = −∂ᵃμS とする。ここで ψ = |ψ|e^{iS} である。
• 補助パラメータ s を除去できることを示し、ド・ブロイ＝ボーム力学の明示的相対論的共変形式を構築する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 canonical 交換関係を破らず、有界でないハミルトニアンを必要とせずに、量子力学において時間演算子を一貫して定義できるか？
• RQ2 なぜ時間固有状態は物理的でないのか？これは、標準的量子力学解釈に根本的な欠陥を示唆するのか？
• RQ3 時空波動関数を用いて、クライン＝ゴルドン方程式の相対論的共変な確率的解釈をどのように構築できるか？
• RQ4 非局所性があるにもかかわらず、ド・ブロイ＝ボーム解釈は相対性理論と整合するのか？特に、時空形式の量子力学の文脈において。
• RQ5 時間固有状態が存在しない枠組みの中で、時間の測定を一貫して記述できるか？

主な発見

• 時間演算子 T = t は、関数 ψ(x,t) の4次元ヒルベルト空間において、乗法演算子として一貫して定義され、運動エネルギー演算子 Ê = i∂/∂t と [t, Ê] = −i を満たす。
• 基本的な確率測度は dP = |ψ(x)|²d⁴x であり、特定の時間 t に条件づけると、標準的3次元空間確率 dP₃ = |ψ(x,t)|²d³x/Nₜ に還元される。
• 時間演算子の固有状態は物理的でない。なぜなら、運動方程式を満たさないからである。しかし、これは欠陥ではなく、ド・ブロイ＝ボーム力学のような代替解釈を動機づける要因である。
• ド・ブロイ＝ボーム解釈は相対論的共変性を保ち、軌道方程式 dXᵃμ/ds = vᵃμ(X₁,…,Xₙ) が明示的共変かつ補助パrameter s に依存しないことから明らかである。
• 速度 vᵃμ = −∂ᵃμS は弱測定の意味で測定可能であり、ド・ブロイ＝ボーム軌道への実験的アクセスを提供する。
• クライン＝ゴルドン方程式の確率的解釈は相対論的不変性を有し、|ψ(x)|²d⁴x は粒子検出の時空確率密度として解釈される。