[論文レビュー] Time-inconsistent stochastic control: solving the extended HJB system is a necessary condition for regular equilibria

Kristoffer Lindensjö|arXiv (Cornell University)|Nov 9, 2016

Stochastic processes and financial applications参考文献 34被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、時間不整合な確率的制御問題における正規均衡が、拡張されたハミルトニアン・ヤコビ・ベルルマン（HJB）系を解くことこそが必要条件であることを確立している。一般のマコフ型イト拡散フレームワークを用い、一般の時間不整合な報酬関数と終端報酬関数を想定した下で、任意の正規均衡が古典的解としての拡張HJB系に対応することを証明し、均衡の特徴付けを必要十分条件の両方を満たす形で完成させた。

ABSTRACT

Time-inconsistent stochastic control is a game-theoretic generalization of standard stochastic control, with well-known applications in economics and finance. One of the most important results of standard (time-consistent) stochastic control is the characterization of the optimal value function as the unique solution to the Hamilton-Jacobi-Bellman equation (HJB). Naturally, we hope that time-inconsistent stochastic control problems offer a similar possibility. Indeed, Bj\ork, Khapko & Murgoci (2016) introduce a system of PDEs, the extended HJB system, and prove a verification theorem saying that if the extended HJB system has a (classical) solution then this solution is in fact the equilibrium of a corresponding time-inconsistent stochastic control problem (i.e. sufficient conditions for equilibria are presented). The main contribution of the present paper is to show that a regular equilibrium of a time-inconsistent stochastic control problem (if it exists) is necessarily a (classical) solution to a corresponding extended HJB system (i.e. we present necessary conditions for regular equilibria). Our model is that of a general (Markovian) It\^o diffusion and general time-inconsistent running and terminal payoff functions.

研究の動機と目的

• 正規均衡の必要条件を確立することで、時間不整合な確率的制御理論における重要な空白を埋めること。
• Björk, Khapko & Murgoci (2016) が提示した拡張HJB系による十分条件の検証定理を拡張し、そのような解が必要条件でもあることを証明すること。
• 任意の時間不整合な報酬関数と終端報酬関数を有する一般のマコフ型イト拡散設定における均衡の分析を行うこと。
• 時間不整合制御の理論的基盤を統合し、拡張HJB系が正規均衡を完全に特徴付けられることを示すこと。

提案手法

• 著者らは、時間に依存する報酬関数と終端報酬関数を有するマコフ型イト拡散フレームワークにおいて、一般の時間不整合な確率的制御問題を定式化した。
• 彼らは、時間にわたる整合性条件を満たす制御戦略として正規均衡を定義し、戦略的時間不整合性を反映している。
• 動的計画法の議論と拡張HJB系の構造を用いて、このような均衡の必要条件を導出した。
• 時間不整合な設定に適応した検証技術を用い、任意の正規均衡が拡張HJB系の古典的解に対応することを証明した。
• この分析は、拡張HJB系の滑らかな解の存在と、元の拡散過程のマコフ性に依存している。
• この手法により、正規均衡と拡張HJB系の古典的解との間の一対一対応が確立され、理論的特徴付けが完成した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時間不整合な確率的制御問題における正規均衡を特徴付けるために、拡張HJB系の解が十分条件であるだけでなく、必要条件でもあるのか？
• RQ2 一般のマコフ型拡散モデルにおいて、時間不整合な報酬関数を有する場合に、拡張HJB系が正規均衡を完全に特徴付けられるか？
• RQ3 正規均衡が必ず拡張HJB系の古典的解から生じるような条件は何か？
• RQ4 一般の時間不整合な報酬関数と終端報酬関数に対して、拡張HJB系の必要性は成り立つか？
• RQ5 時間不整合構造は、拡張HJBフレームワークにおける均衡の存在性と一意性にどのように影響するか？

主な発見

• 時間不整合な確率的制御問題における正規均衡は、必ず拡張HJB系の古典的解に対応する。
• 提示されたマコフ型イト拡散フレームワークにおいて、拡張HJB系は正規均衡を特徴付けるために、十分条件であるだけでなく、必要条件でもある。
• 正規均衡と拡張HJB系の古典的解との間の一対一対応を確立することで、理論的基盤が完全に完成した。
• 特定の関数形を仮定しない一般の時間不整合な報酬関数と終端報酬関数のもとでも、必要性の結果は成り立つ。
• 分析により、拡張HJB系が、研究された問題クラスにおいて正規均衡を完全に特徴付けられることを確認した。
• 研究結果は、拡張HJB系が時間不整合制御における正規均衡の特定と分析の標準的ツールであることを裏付けた。