[論文レビュー] Time-Inhomogeneous Branching Processes Conditioned on Non-Extinction

Nicholas Bhattacharya, Mark Perlman|arXiv (Cornell University)|Mar 1, 2017

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 4被引用数 13

ひとこと要約

本稿は、時間に非一様な設定への古典的ブランチング過程の結果を拡張し、非滅亡の条件下で正規化された集団サイズが、緩い条件下でも分布およびモーメントの意味で指数分布(1)に収束することを証明する。臨界的領域の新しい特徴付けを確立し、母数母関数と漸近的解析を用いて、連続時間における時間に非一様な出生・死滅過程へもその結果を拡張する。

ABSTRACT

In this paper, we consider time-inhomogeneous branching processes and time-inhomogeneous birth-and-death processes, in which the offspring distribution and birth and death rates (respectively) vary in time. A classical result of branching processes states that in the critical regime, a process conditioned on non-extinction and normalized will converge in distribution to a standard exponential. In a paper of Jagers, time-inhomogeneous branching processes are shown to exhibit this convergence as well. In this paper, the hypotheses of Jagers' result are relaxed, further hypotheses are presented for convergence in moments, and the result is extended to the continuous-time analogue of time-inhomogeneous birth-and-death processes. In particular, the new hypotheses suggest a simple characterization of the critical regime.

研究の動機と目的

• Jagersの1975年の結果における時間に非一様なブランチング過程の仮定を緩め、臨界的領域へのより広範な適用可能性を実現すること。
• 非滅亡条件下での正規化された集団サイズのモーメント収束を、分布収束に加えて、指数分布への収束を示すこと。
• 時間に非一様な出生・死滅過程への非滅亡基準および指数極限結果の拡張。
• 平均集団サイズの漸近的挙動を用いた、時間に非一様な過程における臨界的領域の新しい単純な特徴付けの提供。
• 生成関数とモーメント母関数を用いた共通の解析的枠組みにより、離散時間および連続時間の時間に非一様なブランチング過程を統一すること。

提案手法

• 離散時間における時間に非一様なブランチング過程の集団分布をモデル化するために、生成関数 $ f_n(s) = (g_0 \circ \cdots \circ g_{n-1})(s) $ を用いる。
• モーメント母関数 $ M_r(t) = E(Z_t^r) $ を適用し、$ \dot{M}_r = M_r E(X_t) + \text{higher-order terms} $ を用いて $ M_r(t) $ の再帰的微分方程式を導出する。
• 関数 $ \Gamma(t) $ を $ \Gamma(t) = \int_0^t \frac{1}{M(s)} ds $ により定義し、臨界的領域を特徴付け、正規化スケールを制御する。
• 漸近的解析を用いて $ \Gamma(t) $、$ M(t) $、および $ \phi(t) = P(Z_t \neq 0) $ を分析し、モーメントが $ r! $ に収束することを証明し、指数分布(1)への収束を示す。
• 無限小遷移率をモデル化し、類似するモーメントおよび生存確率の漸近的挙動を導出することで、離散時間枠組みを連続時間の出生・死滅過程へ適応する。
• 数学的帰納法と微分不等式を用いて、$ M_r(t)/M(t)^r \sim r! \Gamma(t)^{r-1} $ を証明し、指数分布へのモーメント収束を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時間に非一様なブランチング過程が非滅亡の条件下で、分布収束が指数分布(1)に至る緩い条件下は何か？
• RQ2 時間に非一様なブランチング過程における臨界的領域は、子孫分布そのものではなく、平均集団サイズ $ E(Z_n) $ に関する単純な条件で特徴付けられるか？
• RQ3 従来の知られていた仮定よりも弱い仮定のもとで、時間に非一様なブランチング過程における指数分布へのモーメント収束は成立するか？
• RQ4 有限個の出生率を有する連続時間における時間に非一様な出生・死滅過程へ、非滅亡基準および指数極限結果を拡張できるか？
• RQ5 時間に非一様な過程におけるモーメント母関数および生存確率の漸近的挙動はいかなるものか？また、関数 $ \Gamma(t) $ は正規化においてどのような役割を果たすか？

主な発見

• 本稿は、Jagersの結果（すなわち $ \lim_{n\to\infty} E(Z_n) < \infty $）よりも厳密に弱い仮定のもとで、非滅亡の条件下で正規化された集団サイズが依然として指数分布(1)に分布収束することを証明する。
• 2次の階乗モーメントが $ E(X_t^2) \sim 2M(t) $ を満たす場合に、指数分布(1)へのモーメント収束が成立することを確立する。これは臨界的領域を特徴付ける。
• 臨界的領域は、$ \int_0^\infty \frac{1}{E(Z_t)} dt = \infty $ という条件によって特徴付けられ、古典的な絶滅基準を時間に非一様な過程へ一般化する。
• 連続時間における時間に非一様な出生・死滅過程では、非滅亡確率 $ \phi(t) $ が $ \phi(t) \sim 1/\Gamma(t) $ を満たし、正規化された集団サイズがモーメント収束して指数分布(1)に至ることを示す。
• 関数 $ \Gamma(t) = \int_0^t \frac{1}{M(s)} ds $ は正規化および臨界的領域の特徴付けにおいて中心的な役割を果たし、$ \Gamma(t) \to \infty $ であれば臨界性が成立する。
• 非滅亡条件下での正規化された集団サイズ $ Z_t / E(Z_t \mid Z_t \neq 0) $ の $ r $ 次モーメントが $ r! $ に収束することを示し、指数分布(1)へのモーメント収束を確認する。