[論文レビュー] Time inhomogeneous Generalized Mehler Semigroups

Shun-Xiang Ouyang, Michael Röckner|arXiv (Cornell University)|Sep 27, 2010

Stochastic processes and financial applications参考文献 24被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、ヒルバート空間上における時不変でない一般化されたメーラー半群に対して次元に依存しないハーナック不等式を確立し、それらをリーヴィ過程によって駆動される非定常オーランシュタイン＝ウーレンプロセスと関連付ける。これらの不等式を通じて、強いフェラー性および収縮性を証明し、スケーリング畳み込み方程式における進化系測度のスペクトル表現および存在・一意性の結果を提示する。

ABSTRACT

A time inhomogeneous generalized Mehler semigroup on a real separable Hilbert space ${\mathds{H}}$ is defined through $$ p_{s,t}f(x)=\int_{\mathds{H}} f(U(t,s)x+y)\,μ_{t,s}(dy), \quad t\geq s, \ x\in{\mathds{H}} $$ for every bounded measurable function $f$ on ${\mathds{H}}$, where $(U(t,s))_{t\geq s}$ is an evolution family of bounded operators on ${\mathds{H}}$ and $(μ_{t,s})_{t\geq s}$ is a family of probability measures on $({\mathds{H}}, \B({\mathds{H}}))$ satisfying the time inhomogeneous skew convolution equations $$μ_{t,s}=μ_{t,r}*(μ_{r,s}\circ U(t,r)^{-1}),\quad t\geq r\geq s.$$ This kind of semigroup is closely related with the transition semigroup" of non-autonomous (possibly non-continuous) Ornstein-Uhlenbeck process driven by some proper additive process. We show the weak continuity, infinite divisibility, associated "additive processes", Lévy-Khintchine type representation, construction and spectral representation of $(μ_{t,s})_{t\geq s}$. We study the structure, existence and uniqueness of the corresponding evolution systems of measures (=space-time invariant measures) of $(p_{s,t})_{t\geq s}$. We also establish dimension free Harnack inequalities in the sense of Wang (1997, PTRF) for $(p_{s,t})_{t\geq s}$. As applications of the Harnack inequalities, we investigate the strong Feller property and contractivity etc. for $p_{s,t}$. Finally we prove a Harnack inequality and show the strong Feller property for the transition semigroup of a semi-linear non-autonomous Ornstein-Uhlenbeck process driven by a Wiener process.

研究の動機と目的

• 分離可能なヒルバート空間上における時不変でない一般化されたメーラー半群の包括的な理論を構築すること。
• 関連する時不変でないスケーリング畳み込み半群の確率測度に対して、弱連続性、無限に分割可能性、およびスペクトル表現を確立すること。
• 半群に対して進化系測度（空間時間不変測度）の存在および一意性を調査すること。
• Wang（1997）の意味での次元に依存しないハーナック不等式を導出し、それらを用いて強いフェラー性および収縮性を証明すること。
• ウィーナー過程によって駆動される半線形非定常オーランシュタイン＝ウーレンプロセスへと結果を拡張すること。

提案手法

• 時間不変でない一般化されたメーラー半群を $ p_{s,t}f(x) = \int_{\mathds{H}} f(U(t,s)x + y) \, \mu_{t,s}(dy) $ により定義する。ここで $ (U(t,s)) $ は進化族であり、$ (\mu_{t,s}) $ はスケーリング畳み込み方程式 $ \mu_{t,s} = \mu_{t,r} * (\mu_{r,s} \circ U(t,r)^{-1}) $ を満たす。
• $ \mu_{t,s} $ に対してLévy-Khintchine表現を確立し、スペクトル表現技術を用いてガウス成分、ジャンプ成分、およびドリフト成分に分解する。
• スケーリング畳み込み方程式を用いて $ \mu_{t,s} $ の構造を特徴付け、無限に分割可能性および弱連続性を証明する。
• 方程式 $ \mu_{t,s} = \mu_{t,r} * (\mu_{r,s} \circ U(t,r)^{-1}) $ の解として進化系測度を構成し、適切な条件下で存在および一意性を証明する。
• カップリングおよびログソボレフ型の議論を用いて $ p_{s,t} $ に対する次元に依存しないハーナック不等式を導出し、正則性の性質に繋げる。
• ハーナック不等式を用いて半群の強いフェラー性および収縮性を証明し、ウィーナーノイズを伴う半線形確率偏微分方程式へと拡張する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時間不変でない一般化されたメーラー半群は、スケーリング畳み込み方程式および関連する測度を用いてどのように特徴付けられるか？
• RQ2 時不変でない遷移核 $ \mu_{t,s} $ のスペクトル表現およびLévy-Khintchine表現は何か？
• RQ3 このような半群に対して進化系測度が存在し、かつ一意であるための条件は何か？
• RQ4 非定常オーランシュタイン＝ウーレンプロセスに対して次元に依存しないハーナック不等式を確立できるか？また、その正則性への帰結は何か？
• RQ5 ウィーナー過程によって駆動される半線形非定常オーランシュタイン＝ウーレンプロセスに対して強いフェラー性が成り立つか？また、ハーナック不等式を用いてどのように証明できるか？

主な発見

• 本稿は、時不変でない一般化されたメーラー半群に対して次元に依存しないハーナック不等式を確立し、Wang（1997）の枠組みを非定常設定へと拡張した。
• 導出されたハーナック不等式を用いて、半群 $ p_{s,t} $ の強いフェラー性を証明し、遷移密度関数の滑らかさを保証した。
• 進化族 $ (U(t,s)) $ および族 $ (\mu_{t,s}) $ に対してやや弱い条件下で、進化系測度の存在および一意性を確立した。
• $ \mu_{t,s} $ に対してスペクトル表現を構築し、ガウス成分、ジャンプ成分、ドリフト成分に分解し、それぞれの明示的表現を示した。
• ウィーナー過程によって駆動される半線形非定常オーランシュタイン＝ウーレンプロセスに対して、ハーナック不等式を証明し、強いフェラー性を確立した。
• 非定常線形制御系のノルム制御可能性は、演算子 $ \Pi_{t,s}^{1/2} $ の像を用いて特徴付けられ、エネルギー推定は $ |\Pi_{t,s}^{-1/2}U(t,s)x|^2 $ を用いて与えられた。