[論文レビュー] Time inhomogeneous Stochastic Differential Equations involving the local time of the unknown process, and associated parabolic operators

Pierre Étoré, Miguel Martínez|arXiv (Cornell University)|Aug 25, 2016

Stochastic processes and financial applications参考文献 38被引用数 24

ひとこと要約

本稿では、時間に依存する係数と移動する界面を持つ1次元の時間非一様確率微分方程式（SDE）について、未知過程の局所時刻を時間に依存する曲線に沿って含む場合の存在、一意性、およびマルコフ性を確立する。Feynman-Kac表現を用いて、これらのSDEを境界条件付き放物型PDEと関連づけ、解の正則性を示し、時間一様な場合の古典的結果を時間非一様な設定に拡張する。

ABSTRACT

In this paper we study time-inhomogeneous versions of one-dimensional Stochastic Differential Equations (SDE) involving the Local Time of the unknown process on curves. After proving existence and uniqueness for these SDE under mild assumptions, we explore their link with Parabolic Differential Equations (PDE) with transmission conditions. We study the regularity of solutions of such PDE and ensure the validity of a Feynman-Kac representation formula. These results are then used to characterize the solutions of these SDE as time-inhomogeneous Markov Feller processes.

研究の動機と目的

• 局所時刻を含む1次元SDEの理論を、時間一様な設定から時間非一様な設定へ拡張すること。
• 時間に依存する係数と移動する曲線に沿った局所時刻を含むSDEについて、存在およびパスごとの一意性を確立すること。
• Feynman-Kac表現を用いて、これらのSDEを境界条件付き放物型PDEと関連づけること。
• 解を時間非一様マルコフ・フェラー過程として特徴づけること。
• 時間に依存する係数と移動する界面を持つ関連放物型PDEの解の正則性を証明すること。

提案手法

• 時間に依存する曲線に沿った未知過程の局所時刻を含む時間非一様SDEを定式化する：$ dX_t = \sigma(t,X_t)dW_t + b(t,X_t)dt + \sum_{i=1}^I \beta_i(t) dL_t^{x_i(t)}(X) $。
• 弱解とパスごとの一意性を用いて、係数と曲線の弱い正則性仮定のもとで強解の存在を確立する。
• SDEの解と境界条件付き放物型PDEの解を結ぶFeynman-Kac表現公式を確立する。
• 時間に依存する係数と移動する界面における境界条件を有する、発散型の放物型PDEを分析する。
• 切断関数を用いたエネルギー推定と重み付きソボレフ空間を用いて、PDEの解の正則性を証明する。
• 事前推定と滑らか化技術を用いて、$ L^2 $-正則性と時間微分のバインドを導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 時間に依存する係数と時間に依存する曲線に沿った未知過程の局所時刻を含む時間非一様SDEについて、存在性と一意性を確立できるか？
• RQ2 このようなSDEの解は、境界条件付き放物型PDEとどのように関連するか？
• RQ3 時間に依存する係数と移動する界面を持つ場合、関連PDEの解がどのような正則性を持つのか？
• RQ4 局所時刻の寄与を含む時間非一様設定において、Feynman-Kac表現が成立するか？
• RQ5 解過程は時間非一様マルコフ・フェラー過程として特徴づけられるか？

主な発見

• 係数 $ \sigma, b, \beta_i(t), x_i(t) $ について弱い正則性条件のもとで、時間非一様SDEが時間に依存する曲線に沿った局所時刻を含む場合の存在およびパスごとの一意性が証明された。
• 解過程は時間非一様マルコフ・フェラー過程として特徴づけられた。
• Feynman-Kac表現公式が確立され、SDEの解と境界条件付き放物型PDEの解とが関連づけられた。
• 関連PDEの解が $ L^2(0,T;H^1) $ に属すること、時間微分と空間勾配に $ L^2 $-バインドが存在することが示された。
• 各移動界面 $ x_i(t) $ において、境界条件 $ a(x_i+)u_x'(t,x_i+) = a(x_i-)u_x'(t,x_i-) $ が満たされる。
• 切断関数を用いたエネルギー推定と滑らか化により、正則化に依存しない一様バインドが得られ、重み付きソボレフ空間における解の正則性が証明された。