[論文レビュー] Time irregularity of generalized Ornstein--Uhlenbeck processes

Zdzisław Brzeźniak, Beniamin Gołdys+4 more|ArXiv.org|Nov 12, 2009

Stochastic processes and financial applications参考文献 2被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、ヒルバート空間における円形レビ過程で駆動される一般化オーランシュタイン＝ウーレンバック過程の時間正則性を調査する。レビノイズが状態空間 H にジャンプを持つ場合でも、ノイズ係数 βₙ が 0 に収束しない限り、解 X(t) は càdlàg 修正をもたないことが示され、H におけるジャンプ支持条件の必要性に関する長年の未解決問題が解消される。

ABSTRACT

The paper is concerned with the properties of solutions to linear evolution equation perturbed by cylindrical Lévy processes. It turns out that solutions, under rather weak requirements, do not have càdlàg modification. Some natural open questions are also stated.

研究の動機と目的

• 線形SPDEに円形レビノイズを適用した解が状態空間 H において càdlàg 修正をもつ条件を特定すること。
• H にジャンプをもつレビノイズが常に càdlàg 解をもつという予想に反論すること。
• α-安定ノイズを伴う確率的熱方程式およびバーガース方程式の解の時間不規則性を分析すること。
• ノイズ係数の収束 (βₙ → 0) と定義域条件 (eₙ ∈ D(A*)) が経路正則性に果たす役割を明確化すること。

提案手法

• S(t) が C₀-半群で、L が円形レビ過程であるとき、確率的畳み込み X(t) = ∫₀ᵗ S(t−s) dL(s) を分析する。
• 正規直交基底 (eₙ) を用いたスペクトル表現 L(t) = ∑ₙ βₙLⁿ(t)eₙ を用い、i.i.d. な càdlàg レヴィ過程 Lⁿ を用いる。
• バナッハ空間における左/右極限のコーシーの基準の変種を用いて経路正則性を評価する。
• 正のジャンプ強度のもとで、Lⁿ のジャンプ時刻が (0,∞) に稠密であることを示すために、第二ボレル＝カンテーリーの補題を用いる。
• L²(0,π) 上の確率的熱方程式に α-安定ノイズを適用し、正則性を分析するために拡張空間 H₆ を用いる。
• 確率的畳み込みの最大不等式と、ヒルバート空間における連続性に関する既知の基準を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 レビノイズに H に属するジャンプがある場合でも、SPDE の解に càdlàg 修正が存在しないことは、継続的に成立するか？
• RQ2 解 X(t) の H- càdlàg 修正が存在するためには、ノイズ係数 βₙ が 0 に収束することが必要か？
• RQ3 eₙ ∈ D(A*) であるという仮定は、X(t) の非-càdlàg 性に本質的か？
• RQ4 レビ過程 L が H で定義されているという条件は、X の H- càdlàg 修正の存在に不可欠か？
• RQ5 α-安定ノイズを伴う確率的熱方程式の解 X(t) は、δ ∈ [−1/α, 0) のとき H₆- càdlàg か？

主な発見

• βₙ が 0 に収束しない場合、任意の t > 0 において、確率1で X(t) は H 内に左極限または右極限を持たない。
• L が H にジャンプを持つにもかかわらず、指定された条件下で X(t) は H- càdlàg 修正をもたない。
• α-安定ノイズを伴う確率的熱方程式において、X(t) が H₆-値であるための必要十分条件は δ < 1/α である。
• L(t) が H₆- càdlàg であるための必要十分条件は δ < −1/α であり、このとき X(t) は H₆- càdlàg である。
• δ ≥ 0 のとき、定理 2.1 により X(t) は H₆- càdlàg 修正をもたない。
• ガウス型の場合（α=2）は異なる：X(t) が H₆- càdlàg であるための必要十分条件は δ < 1/2 であるが、α ∈ (0,2) の場合、同様の類似性は成立しない。