[論文レビュー] Time optimal control problems for some non-smooth systems

Hongwei Lou, Junjie Wen+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 23, 2013

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 6被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、ターゲット集合に近づく際にベクトル場が無限大に発散する特異ダイナミクスを有する非滑らか系における時間最適制御に関して、ポントレヤーギンの最大原理を確立する。補助系を構築し、緩和制御を用いることで、少なくとも1つの最適緩和制御に対して最大原理が成り立つことを証明し、爆発時刻制御やクエンチング時刻制御といった問題における最適性の必要条件を可能にする。

ABSTRACT

Time optimal control problems for some non-smooth systems in general form are considered. The non-smoothness is caused by singularity. It is proved that Pontryagin's maximum principle holds for at least one optimal relaxed control. Thus, Pontryagin's maximum principle holds when the optimal classical control is a unique optimal relaxed control. By constructing an auxiliary controlled system which admits the original optimal classical control as its unique optimal relaxed control, one get a chance to get Pontryagin's maximum principle for the original optimal classical control. Existence results are also considered.

研究の動機と目的

• ターゲット集合に近づく際にベクトル場が無限大に発散する非滑らか系における時間最適制御問題に取り組む。
• 滑らかさの欠如にもかかわらず、特にポントレヤーギンの最大原理を含む最適性の必要条件を確立する。
• 系のダイナミクスおよび制御集合に関する一般的な仮定の下で、最適制御の存在を証明する。
• 古典的最適制御が存在する場合であっても、少なくとも1つの最適緩和制御に対して最大原理が成り立つことを示す。
• 単調性および構造的仮定の下で、補助系の構築により、最大原理を古典的最適制御へ拡張できることを示す。

提案手法

• 特異ダイナミクスを有する系における一般化された時間最適制御問題を導入し、ベクトル場は局所的に有界であるが、ターゲット集合に近づくとその微分が無限大に発散する。
• 解がターゲットに到達する必要はないが、$\mathop{\underline{\rm lim}}_{s\to T^{-}} d(y(s),Q) = 0$ という極限条件を用いて、実行可能かつ許容可能な三つ組を定義する。
• 爆発挙動を正則化するため、$-h(t)\chi_{[s,\infty)}(t)y(t)$ という摂動項を含む、修正されたダイナミクスを持つ補助制御系を構築する。
• 非滑らか性を扱うために緩和制御を用い、定理2.6を用いて、少なくとも1つの最適緩和制御に対して最大原理が成り立つことを証明する。
• 滑らかで逆可換な写像 $G$ を用いた変数変換により、元の系を標準的仮定 (S1)–(S4) を満たす新しい系に変換し、既知の最大原理結果の適用を可能にする。
• 共役方程式を導出し、$[0,\bar{t})$ 上 almost everywhere で $\left\langle \bar{\psi}(t), B(t)\bar{u}(t) \right\rangle = \max_{u\in U} \left\langle \bar{\psi}(t), B(t)u \right\rangle$ である最大条件を検証する。ただし $\bar{\psi}(t) \to 0$ が $t \to \bar{t}^{-}$ のとき成り立つ。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 特異ダイナミクスを有する非滑らか系における時間最適制御問題において、ポントレヤーギンの最大原理が成り立つ条件は何か？
• RQ2 系が爆発またはクエンチング挙動を示す場合、最大原理は古典的最適制御に対しても確立可能か？
• RQ3 補助系をどのように構築することで、元の非滑らか系に対する最大原理を回復できるか？
• RQ4 系の単調性が、緩和制御から古典的制御への最大原理の拡張において果たす役割は何か？
• RQ5 爆発またはクエンチング時刻の最適制御問題は、どのような意味で特異ダイナミクスを有する標準的時間最適制御問題に還元可能か？

主な発見

• 特異ダイナミクスを有する非滑らか系における時間最適制御問題において、ポントレヤーギンの最大原理は少なくとも1つの最適緩和制御に対して成り立つ。
• 滑らかで逆可換な写像による変換と正則化を経て構築された補助系に関して、最適古典的制御が、その補助系の唯一の最適緩和制御であることが示された。
• 共役ベクトル $\bar{\psi}(t)$ は $\lim_{t\to\bar{t}^{-}} \bar{\psi}(t) = 0$ を満たし、最適性条件の重要な構造的特徴である。
• 最大条件 $\left\langle \bar{\psi}(t), B(t)\bar{u}(t) \right\rangle = \max_{u\in U} \left\langle \bar{\psi}(t), B(t)u \right\rangle$ は $[0,\bar{t})$ 上 almost everywhere で成り立つ。
• 標準的仮定 (S1)–(S4) の下で、最適制御の存在が確立され、$f$ の局所有界性およびモジュラス連続性が含まれる。
• 状態軌道の爆発挙動は $\lim_{t\to\bar{t}^{-}} |\bar{y}(t)| = +\infty$ によって特徴づけられ、これは $\int_0^{\bar{t}} |\bar{y}(\tau)|^{p-1} d\tau = +\infty$ を意味する。