[論文レビュー] Time-optimal control with direct collocation and variable discretization

Christoph Rösmann, Artemi Makarow+1 more|arXiv (Cornell University)|May 25, 2020

Advanced Control Systems Optimization参考文献 20被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、可変離散化とハーモニック・シンプソン積分を用いた直接コロケーションに基づく時間最適制御フレームワークを提案する。時間間隔を制御軌道とともに最適化することで、 stiff システムに対してもロバストで高精度な解が得られ、リアルタイム適用性が向上する。線形または定数の制御パラメータ化が、二次スプラインよりも制約違反や振動を回避するため、優れた性能を示す。

ABSTRACT

This paper deals with time-optimal control of nonlinear continuous-time systems based on direct collocation. The underlying discretization grid is variable in time, as the time intervals are subject to optimization. This technique differs from approaches that are usually based on a time transformation. Hermite-Simpson collocation is selected as common representative in the field of optimal control and trajectory optimization. Hereby, quadratic splines approximate the system dynamics. Several splines of different order are suitable for the control parameterization. A comparative analysis reveals that increasing the degrees of freedom in control, e.g. quadratic splines, is not suitable for time-optimal control problems due to constraint violation and inherent oscillations. However, choosing constant or linear control splines points out to be very effective. A major advantage is that the implicit solution of the system dynamics is suited for stiff systems and often requires smaller grid sizes in practice.

研究の動機と目的

• 非線形連続時間系の時間最適制御のための直接コロケーション法を、可変時間離散化を用いて開発すること。
• 線形、二次、定数の異なる制御パラメータ化が制約適合性と解の精度に与える影響を調査すること。
• 数値的安定性と収束性を確保することで、stiff システムに対してリアルタイムおよび予測制御応用を可能にすること。
• 動的精度と制約処理の観点から、コロケーション法（ハーモニック・シンプソン、有限差分）とマルチショーティングの比較を行うこと。
• Van der Pol オscillater などのベンチマーク系を用いて、現実的な制御および状態制約下での手法の妥当性を検証すること。

提案手法

• 状態および制御軌道を区分的多項式スプラインで近似するため、ハーモニック・シンプソン積分則を用いた直接コロケーションを採用する。
• コロケーション点間の時間間隔を最適化することで可変時間離散化を導入し、最終時間を意思決定変数として扱えるようにする。
• 高い軌道近似精度を達成するために、ハーモニック・シンプソンコロケーションにおける制御パラメータ化に二次スプラインを用いる。
• スパースな有限差分ヤコビアンおよびヘッセ行列の計算を、ハイパーグラフ表現を用いて実装し、スパarsity を活用して解法効率を向上させる。
• モデル予測制御におけるグリッド適応スキームを実装し、反復的に予測ホライズン長を短縮することで、前方不変性と収束性を確保する。
• 得られる非線形計画問題は、HSL-MA57 を線形ソルバとして用いた IPOPT で解き、スパarsity を活かして計算効率を高める。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 制御パラメータ化（線形、二次、定数）の選択が、時間最適制御問題における制約適合性と解の品質にどのように影響するか？
• RQ2 最適化された時間間隔による可変離散化は、固定グリッドや時間変換法と比較して収束性および精度を向上させるか？
• RQ3 直接コロケーションにおいて高次制御スプラインを用いる場合、解の精度と制約違反のトレードオフはどのように変化するか？
• RQ4 stiff システムに対して、動的精度とロバスト性の観点から、ハーモニック・シンプソンと有限差分のコロケーションスキームはどのように比較できるか？
• RQ5 この手法は、安定性と制約適合性を保証する条件下で、どの程度リアルタイムまたは予測制御応用を支援できるか？

主な発見

• ハーモニック・シンプソンコロケーションにおける二次制御スプラインは、最も高い動的精度を達成するが、コロケーション点での補間のため、制御境界の頻繁な違反を引き起こす。
• 線形および定数の制御パラメータ化は、低次の近似順序であるにもかかわらず、制約違反が少なく、振動も少ないより信頼性の高い解を提供する。
• 陰的動的統合のおかげで、本手法は stiff システムを効果的に処理でき、実際には明示的法よりも小さなグリッドサイズを必要とする。
• 前進差分コロケーションは最大の動的誤差を示し、第一階の精度と高精度タスクにおける不安定性を確認した。
• グリッド適応スキームにより、前方不変性とターゲット集合への収束性が確保され、予測ホライズン長を短縮した安定なモデル予測制御が可能になった。
• 線形制御スプラインを用いたハーモニック・シンプソンコロケーションは、精度、制約適合性、計算効率のバランスが最良であり、リアルタイム応用に最適である。