[論文レビュー] Time Optimal Synthesis for Left--Invariant Control Systems on SO(3)

Ugo Boscain, Yacine Chitour|ArXiv.org|Feb 23, 2005

Stability and Control of Uncertain Systems参考文献 15被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、SO(3) 上の左不変制御系における時間最適軌道の最大スイッチング回数について、ホフプ・ファイブレーションを用いた RP² 上の投影制御問題を通じて、タイトな上限と下限を確立する。$ N(\alpha) $ が満たす不等式 $ N_S(\alpha) \leq N(\alpha) \leq N_S(\alpha) + 4 $ が示され、$ \alpha \to 0 $ のとき $ N_S(\alpha) \sim \pi/(4\alpha) $ となることが示され、非線形系における制御重みが小さい場合のフルーラ現象の理解における重要な空白を解消する。

ABSTRACT

Consider the control system given by $\dot x=x(f+ug)$, where $x\in SO(3)$, $|u|\leq 1$ and $f,g\in so(3)$ define two perpendicular left-invariant vector fields normalized so that $\|f\|=\cos(\al)$ and $\|g\|=\sin(\al)$, $\al\in ]0,π/4[$. In this paper, we provide an upper bound and a lower bound for $N(α)$, the maximum number of switchings for time-optimal trajectories. More precisely, we show that $N_S(\al)\leq N(\al)\leq N_S(\al)+4$, where $N_S(\al)$ is a suitable integer function of $\al$ which for $\al o 0$ is of order $π/(4α).$ The result is obtained by studying the time optimal synthesis of a projected control problem on $R P^2$, where the projection is defined by an appropriate Hopf fibration. Finally, we study the projected control problem on the unit sphere $S^2$. It exhibits interesting features which will be partly rigorously derived and partially described by numerical simulations.

研究の動機と目的

• 制御重みが小さい場合の SO(3) 上の左不変制御系における時間最適軌道の最大スイッチング回数 $ N(\alpha) $ を特定すること。
• $ \alpha \to 0 $ のときの $ N(\alpha) $ の漸近的挙動を解明すること、特に発散するか有界であるかを特定すること。
• 従来のインデックス理論による推定値を改善し、$ N(\alpha) $ の下限と上限の両方を確立すること。
• RP² 上の投影制御問題と球面 $ S^2 $ の分析に、幾何学的および数値的手法を適用すること。
• 南極付近における最適合成の構造と、スイッチング曲線が最適性喪失に果たす役割を調査すること。

提案手法

• ホフプ・ファイブレーションを用いて、SO(3) 上の元の制御系を $ \mathbb{R}P^2 $ 上の簡略化された系に投影し、極値軌道の解析を容易にする。
• ポントレヤーギンの最大原理を適用し、候補となる最適軌道を極値に削減する。極値は擬ハミルトニアン系の解である。
• インデックス理論および高階最適性条件（例えば、共役点、包絡線理論）を用いて、非最適な極値を除外する。
• 不等式の基準関数として、$ N_S(\alpha) = 2\left[\frac{\pi}{8\alpha}\right] - \left[2\left[\frac{\pi}{8\alpha}\right] - \frac{\pi}{4\alpha}\right] $ を定義する。
• 球面 $ S^2 $ 上での数値シミュレーションを実施し、南極付近におけるスイッチング曲線および最適合成の挙動を分析する。
• 定義7を用いて、局所的に最適なスイッチング曲線の概念を導入し、曲線の接線が2つのベクトル場の非負の線形結合と一致しないことを要件とする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ \alpha \to 0 $ のとき、時間最適軌道における最大スイッチング回数 $ N(\alpha) $ の漸近的挙動は何か？
• RQ2 北半球に存在するすべての極値軌道がグローバルに最適であるか、それとも局所的最適性を失う前に最適性を失うのか？
• RQ3 南極付近における最適合成は、$ r = \pi - 2\alpha[\pi/(2\alpha)] $ の剰余にどのように依存するか？
• RQ4 スイッチング曲線がどのような条件下で局所的に最適であり、またどのような条件下で軌道を反射するのか？
• RQ5 この系において、有限パラメータの軌道族が最適性を満たすのに十分か。他の系における有界スイッチングの場合と比較するとどうなるか？

主な発見

• 最大スイッチング回数 $ N(\alpha) $ は $ N_S(\alpha) \leq N(\alpha) \leq N_S(\alpha) + 4 $ を満たし、$ \alpha \to 0 $ のとき $ N_S(\alpha) \sim \pi/(4\alpha) $ となる。これは鋭い推定である。
• 数値的シミュレーションにより、北半球におけるスイッチング曲線が局所的に最適であり、軌道の反射は発生しないという強い証拠が得られた。
• 予想C1は、スイッチング曲線 $ C_k^\varepsilon(s) $ が $ k \leq \left[\frac{\pi - \alpha}{2\alpha}\right] - 1 $ のときかつそのときに限り局所的に最適であると示唆しており、最適性と端点における幾何的整合性が関連づけられる。
• $ T \leq (N_A - 1)\pi $ のとき、北半球に構築された合成はグローバルに最適であり、$ N_A = \left[\frac{\pi}{2\alpha}\right] $ である。
• 南極付近における最適合成の構造は、剰余 $ r = \pi - 2\alpha[\pi/(2\alpha)] $ に強く依存しており、3つの異なる状況が特定された：$ r \in ]\alpha_2, 2\alpha[ $、$ r \in [\alpha_1, \alpha_2] $、$ r \in ]0, \alpha_1[ $。
• ケースA（$ r \in ]\alpha_2, 2\alpha[ $）では、$ P_N^{+} $ から出るスイッチング曲線が原点を通る重複曲線に接続され、最適構造の遷移を示している。