[論文レビュー] Time response of a scalar dynamical system with multiple delays via Lambert W functions

Shuo-Tsung Chen, Shun‐Pin Hsu+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 7, 2016

Sports Dynamics and Biomechanics参考文献 3被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、スカラー力学系における複数の離散遅れを伴う時間応答を計算する解析的手法を提示する。ラプラス変換を適用し、ラメルト W 関数の無限分岐を用いて固有値を表現することで、解が指数関数の和として得られ、初期条件および入力関数に対して正確な解析的応答計算が可能になる。数値的妥当性は、dde23 などの標準的なソルバと比較して確認されている。

ABSTRACT

In this work, we establish the response of scalar systems with multiple discrete delays based on the Laplace transform. The time response function is expressed as the sum of infinite series of exponentials acting on eigenvalues inside countable branches of the Lambert W functions. Eigenvalues in each branch of Lambert W function are computed by a numerical iteration. Numerical examples are presented to illustrate the results obtained.

研究の動機と目的

• 複数の離散遅れを有するスカラー力学系の時間応答に対する解析的公式の開発を目的とする。
• dde23 などの純粋な数値的手法の限界を克服し、閉形式解を提供することを目的とする。
• ラメルト W 関数の使用を単一遅れ系から複数遅れ系へ拡張することを目的とする。
• 正確な応答表現を通じて遅れ系の制御器設計を可能にすることを目的とする。

提案手法

• 複数の離散遅れを伴う遅れ微分方程式（DDE）にラプラス変換を適用する。
• ラメルト W 関数の可算な分岐から得られる固有値によってインdeックス付けられた指数関数の和として、状態遷移関数を導出する。
• 各ラメルト W 分岐内で反復的数値手法を用いて固有値を計算する。
• 全時間応答を初期条件応答、事前形状関数応答、および入力関数との畳み込みの組み合わせとして表現する。
• ラプラス領域における部分分数展開を用いて、各指数関数項の係数を求める。
• 数値計算のため、無限級数を有限個の固有値分岐（例：k = -11 から 10）に近似する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 複数の離散遅れを有するスカラー遅れ系の時間応答は、ラメルト W 関数を用いて解析的に表現可能か？
• RQ2 ラメルト W 関数のすべての分岐にわたる多遅れ系の固有値は、どのように体系的に計算可能か？
• RQ3 複数の遅れに対して、ラメルト W 分岐の観点から状態遷移関数の構造はいかなるものか？
• RQ4 dde23 などの数値ソルバと比較して、解析的応答近似の精度はどの程度か？
• RQ5 本手法は、任意の初期条件および入力関数に一般化可能か？

主な発見

• 複数遅れスカラー系の時間応答は、ラメルト W 関数の異なる分岐から得られる固有値に対応する無限級数の指数関数の和として表現される。
• 各ラメルト W 分岐内で反復的数値解法を用いて固有値が計算され、実装の実用性が確保される。
• ラプラス領域における部分分数展開を用いて、初期条件応答および入力駆動応答の解析的解が導出される。
• 数値結果は、dde23 とほぼ同一の応答を示し、ラメルト W を用いた解析的手法の正確性が検証された。
• 本手法は、最大3つの遅れを有する系に対しても応答を正確に計算でき、複素共役固有値ペアおよびその寄与も含めて有効である。
• 32個の固有値（k = -11 から 10）を用いることで、無限級数の高精度近似が得られ、時間領域での収束が観察された。