[論文レビュー] Time reversal dualities for some random forests

Miraine Dávila Felipe, Amaury Lambert|arXiv (Cornell University)|Sep 21, 2014

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 24被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、独立同分布の分割木から構成されるランダムフォレストに対して、時間反転双対性を確立し、上行的分岐フォレストの時間発展における個体数過程が、出生率と死滅率を交換した下方的フォレストの時間発展過程と同一分布に従うことを示している。双対性は、コントゥアプロセスとLévy過程の反転性に基づいて導出され、疫学的モデルにおける感染症の広がりに応用可能である。

ABSTRACT

We consider a random forest $\mathcal{F}^*$, defined as a sequence of i.i.d. birth-death (BD) trees, each started at time 0 from a single ancestor, stopped at the first tree having survived up to a fixed time $T$. We denote by $\left(ξ^*_t,\ 0\leq t\leq T ight)$ the population size process associated to this forest, and we prove that if the BD trees are supercritical, then the time-reversed process $\left(ξ^*_{T-t},\ 0\leq t\leq T ight)$, has the same distribution as $\left(\widetildeξ^*_t,\ 0\leq t\leq T ight)$, the corresponding population size process of an equally defined forest $\widetilde{\mathcal{F}}^*$, but where the underlying BD trees are subcritical, obtained by swapping birth and death rates or equivalently, conditioning on ultimate extinction. We generalize this result to splitting trees (i.e. life durations of individuals are not necessarily exponential), provided that the i.i.d. lifetimes of the ancestors have a specific explicit distribution, different from that of their descendants. The results are based on an identity between the contour of these random forests truncated up to $T$ and the duality property of Lévy processes. This identity allows us to also derive other useful properties such as the distribution of the population size process conditional on the reconstructed tree of individuals alive at $T$, which has potential applications in epidemiology.

研究の動機と目的

• 独立同分布の分割木から成るランダムフォレストに対して、既知の出生死滅過程の結果を拡張して、時間反転双対性を確立すること。
• 上行的フォレストの個体数過程を時間反転した場合、それがパラメータを交換した下方的フォレストの前向き過程と等しくなる条件を同定すること。
• 指数分布以外の寿命を想定する場合に、双対性を拡張するために、子孫とは異なる一意の分布に従う祖先の寿命を指定すること。
• 双対性を疫学的モデルに応用し、出生を感染伝播、死滅を回復または除去として解釈すること。
• 元の木の辺を保持するが、系統関係を再解釈するパスワイズ構成による双対フォレストの構築を提供すること。

提案手法

• 著者たちは、フォレストの系統的構造を符号化するため、ジャンピング・クロノロジカル・コントゥアプロセス（JCCP）を用い、これが、吸収時に反射および停止されるスパクル・ポジティブLévy過程の分布に従うことを示した。
• 元のフォレストのJCCPに対して、空間時間反転を適用し、Lévy過程の時間反転における既知の双対性性質を活用した。
• 反転されたコントゥアプロセスが、下方的分岐機構を有する双対フォレストのJCCPと同一分布に従うことを証明することで、双対性を確立した。
• 主な技術的ステップは、パス変換におけるローカル時間（レベルへの訪問回数）の不変性を示すことであり、これにより個体数過程における双対性が保証された。
• この方法は、強マルコフ性と指数的チルトを用いて、異なる分岐機構における測度を関連付けることに依存している。
• 非指数分布の寿命に拡張するため、子孫の寿命とは異なる明示的な分布を祖先の寿命に課した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 指数分布以外の寿命を持つ場合にも、独立同分布の分割木から成るランダムフォレストに対して、時間反転双対性を確立できるか？
• RQ2 寿命が非指数的である場合に、双対性を維持するために必要な祖先の寿命の条件は何か？
• RQ3 元のフォレストが上行的で双対フォレストが下方的である場合、双対性は個体数過程としてどのように現れるか？
• RQ4 双対性は、個体数過程にとどまらず、フォレスト全体の構造に対しても拡張可能か？
• RQ5 この双対性は、疫病の伝播をモデル化する上でどのような意味を持つのか？

主な発見

• 独立同分布の分割木から成る上行的ランダムフォレストの時間反転個体数過程は、出生率と死滅率を交換した下方的フォレストの前向き個体数過程と同一分布に従う。
• 非指数分布の寿命を想定する場合、双対性は、子孫とは異なる特定の非指数分布に従う祖先の寿命が満たされる場合にのみ成立する。
• 双対性は個体数過程にとどまらず、元の木の辺を保持するパスワイズ構成により、フォレスト全体の構造に対しても成立する。
• フォレストのコントゥアプロセスを時間反転した場合、ローカル時間の不変性により、双対フォレストのコントゥアプロセスと同一分布に従う。
• 双対性により、上行的過程で個体数がT以上である確率は、滅亡を条件付けた下方的過程で最小レベルが−T以下である確率に等しいことが示唆される。
• この結果は、感染症の広がりをモデル化するための新しいツールを提供し、時間反転された伝播ダイナミクスが、別の下方的伝播過程に対応することを示している。