[論文レビュー] Time-Reversed Diffraction

M. Zolotorev, Kirk T. McDonald|ArXiv.org|Mar 23, 2000

Orbital Angular Momentum in Optics参考文献 33被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、出射球面波を入射波に置き換えることでキルホフ回折積分の時間反転版を定式化し、境界から焦点点への場の逆方向伝搬を可能にした。この手法をガウスビームの遠方場に適用して近傍焦点の場を再構成したが、その結果、時間反転場は期待される集光ビーム構造と一致した。しかし、物理的源（双極子）に対しては根本的な回折限界のため失敗した。

ABSTRACT

We show that a time-reversed formulation of Huygens-Kirchhoff diffraction can be used to deduce the transverse and longitudinal fields of a Gaussian laser beam, starting from a simple assumption of a Gaussian beam profile in the far field. An attempt to apply this technique to the far fields of a Hertzian dipole shows how the laws of diffraction do not permit a wave to be focused to a volume smaller than a cubic wavelength in a charge-free region.

研究の動機と目的

• グリーンの定理と入射球面波を用いて、キルホフ回折積分の時間反転形を導出すること。
• 時間反転形式を、ガウスビームの焦点近傍における電場をその遠方分布から再構成するために適用すること。
• 原点に配置された振動する双極子のような物理的源に時間反転回折を適用した場合の限界を調査すること。
• 時間反転回折が有効である物理的制約、特に源が関心領域の体積外にある必要があるという条件を明確にすること。
• 時間反転回折が、波長スケール未塔の領域で実際の双極子源の場を正確に再構成できない理由を示すこと、特に波が波長未塔に収束できないことによるものである。

提案手法

• 出射波因子 $ e^{ikr'} $ を $ e^{-ikr'} $ に置き換えることで、入射球面波に対応する時間反転キルホフ積分を導出する。
• ヘルムホルツ方程式と点源グリーン関数を用いたグリーンの定理を用い、体積内に源がないと仮定して時間反転形を導出する。
• コーン角 $ \theta_0 $ のガウスビームに時間反転積分を適用し、遠方場の式 $ E_x(r,\theta,\phi,t) = E(r)e^{i(kr-\omega t)}e^{-\theta^2/\theta_0^2} $ を用いる。
• 球座標における角度積分を実行し、$ \theta $ が小さい場合に近似を適用し、ベッセル関数の恒等式を用いて場の成分を評価する。
• 傍軸近似とラプラス変換技術を用いて、$ E_x $ および $ E_z $ の積分を評価し、閉形式の式を得る。
• 原点の振動双極子に対してこの手法をテストし、時間反転積分が出射波と入射波の両方を生成することを示し、真の近傍場を再構成できないことを確認した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 出射波の代わりに入射球面波を用いることで、キルホフ回折積分を時間反転伝搬に再定式化できるか？
• RQ2 時間反転回折形式は、ガウスビームの遠方分布からその近傍焦点の場をどの程度正確に再構成できるか？
• RQ3 原点に配置された物理的双極子源の場を、時間反転キルホフ積分がなぜ再構成できないのか？
• RQ4 時間反転回折が波長立方未塔の領域に電磁波を集光できない物理的制約は何か？
• RQ5 時間反転伝搬下で、場の成分 $ E_x $ および $ E_z $ はどのように振る舞い、マクスウェル方程式の発散条件 $ \nabla \cdot \mathbf{E} = 0 $ を満たすか？

主な発見

• 時間反転キルホフ積分は、$ \psi(\mathbf{x}) \approx \frac{ik}{2\pi} \int_S \frac{e^{-ikr'}}{r'} \psi(\mathbf{x}') d\text{Area}' $ として導出され、出射波の代わりに入射波が用いられる。
• ガウスビームの場合、焦点近傍の再構成された $ E_x $ 場は $ E_x(x,y,z) = \frac{E_0}{1+iz/z_0} e^{-\rho^2/w_0^2(1+iz/z_0)} $ で与えられ、期待される集光ビームプロファイルと一致する。
• $ E_z $ 成分は $ E_z \approx -i\theta_0 \frac{x}{w_0} \frac{E_x}{1+iz/z_0} $ と求められ、$ \theta_0^2 $ のオーダーで $ \nabla \cdot \mathbf{E} = 0 $ を満たす。
• 双極子源（原点）に適用した場合、時間反転積分による場は $ E_x(\text{obs}) \approx 2ik^3p \frac{\sin kr_0}{kr_0} $ となり、$ kr_0 \lesssim 1 $ の範囲でほぼ一定となる。これは真の双極子場を再構成できないことを示している。
• この結果は、時間反転回折が波長未塔の領域で場を解像できないことを示しており、根本的な回折限界に起因する。
• 双極子源に対して再構成に出射波と入射波の両方が現れることから、この手法が真の源と仮想源を区別できないことが確認され、実際の源には適用できないことが示された。