[論文レビュー] Time reversibility and nonequilibrium thermodynamics of second-order stochastic systems with inertia

Hao Ge|arXiv (Cornell University)|Sep 14, 2012

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics参考文献 4被引用数 2

ひとこと要約

本稿は、慣性を有する2次確率系における時間反転対称性と非平衡統計力学の間の厳密な関係を確立する。速度フラックスの反対称性と空間フラックスの対称性が同時に成立する場合、マクスウェル＝ボルツマン分布が得られ、平衡状態において摩擦力が唯一の奇力成分として特定され、アインシュタイン関係式が導かれる。さらに、位置に依存する力の極限において、2つの異なるエントロピー生成率が統合され、統一される。

ABSTRACT

Nonequilibrium thermodynamics of a general second-order stochastic system is investigated. We prove that at steady state, under inversion of velocities, the condition of time-reversibility over the phase space is equivalent to the antisymmetry of spatial flux and the symmetry of velocity flux. Then we show that the condition of time-reversibility alone could not always guarantee the Maxwell-Boltzmann distribution. Comparing the two conditions together, we found that the frictional force naturally emerges as the unique odd term of the total force at thermodynamic equilibrium, and is followed by the Einstein relation. The two conditions respectively correspond to two previously reported different entropy production rates. In case that the external force is only position-dependent, the two entropy production rates become one. We prove that such an entropy production rate can be decomposed into two nonnegative terms, expressed respectively by the conditional mean and variance of the thermodynamic force associated with the irreversible velocity flux at any given spatial coordinate. In the small inertia limit, the former term becomes the entropy production rate of the overdamped dynamics; while the anomalous entropy production rate originated from the latter term. Furthermore, regarding the connection between the First Law and Second Law, we found that in the steady state of such a limit, the anomalous entropy production rate is also the leading order of the Boltzmann-factor weighted difference between the spatial heat dissipation densities of the underdamped and overdamped dynamics, while their unweighted difference always tends to vanish.

研究の動機と目的

• 慣性を有する2次確率系において、時間反転対称性が平衡統計力学を意味する条件を明確化すること。
• 非平衡統計力学における2つの以前に報告されたエントロピー生成率の不一致を解消すること。
• 熱力学的平衡状態において摩擦力が一意に特定される奇力成分として出現する仕組みを調査すること。
• 小慣性（過減衰）極限における第一法則と第二法則の関係を検討すること。
• エントロピー生成率を、不可逆的である速度フラックスに関連する物理的に意味のある成分に分解すること。

提案手法

• 定常状態において、位相空間における時間反転対称性が、空間フラックスの反対称性と速度フラックスの対称性と同値であることを証明すること。
• マクスウェル＝ボルツマン分布が回復される条件を導出し、時間反転対称性のみでは不十分であることを示すこと。
• 平衡状態において全力のうちで摩擦力が唯一の奇項であることを特定し、アインシュタイン関係式が自然に導かれるようにすること。
• 2つのフラックス対称性条件に対応する2つの異なるエントロピー生成率を定義し、外部力が位置に依存する場合にそれらが統合されることを示すこと。
• 統合されたエントロピー生成率を、熱力学的力の条件付き平均と条件付き分散に起因する2つの非負の項に分解すること。
• 小慣性極限を解析し、平均項が過減衰エントロピー生成率に還元されること、また分散項が異常エントロピー生成率を生じることを示すこと。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 位相空間における時間反転対称性が、空間フラックスと速度フラックスのフラックス対称性と同値となる条件は何か？
• RQ2 なぜ時間反転対称性のみでは、慣性系においてマクスウェル＝ボルツマン分布が保証されないのか？
• RQ3 2つの以前に報告されたエントロピー生成率の関係は何か？また、どのような条件下でそれらが一致するか？
• RQ4 小慣性極限における異常エントロピー生成率の物理的起源は何か？
• RQ5 減衰系と過減衰系の間での熱の散逸の差が、定常状態におけるエントロピー生成とどのように関係するか？

主な発見

• 定常状態において、位相空間における時間反転対称性は、空間フラックスの反対称性と速度フラックスの対称性と同値である。
• マクスウェル＝ボルツマン分布は、時間反転対称性とフラックス対称性の両方が満たされた場合にのみ回復される。
• 平衡状態において摩擦力が全力のうちで唯一の奇力成分として出現し、自然にアインシュタイン関係式が導かれる。
• 2つのフラックス対称性条件に対応する2つの異なるエントロピー生成率が生じるが、外部力が位置に依存する場合にはそれらが統合される。
• 統合されたエントロピー生成率は、熱力学的力の条件付き平均に起因する項と、条件付き分散に起因する項の2つの非負の項に分解される。
• 小慣性極限において、平均項は過減衰エントロピー生成率に還元され、分散項は異常エントロピー生成率を生じる。この異常項は、減衰系と過減衰系のボルツマン重み付き熱散逸の1次の差を定量的に表す。