[論文レビュー] Time-reversible and norm-conserving high-order integrators for the nonlinear time-dependent Schr\"{o}dinger equation: Application to local control theory

Julien Roulet, Jiří Vaníček|arXiv (Cornell University)|Jun 30, 2020

Cold Atom Physics and Bose-Einstein Condensates参考文献 43被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、一般の非線形時間依存シュレーディンガー方程式に適した高次の時間反転対称的かつノルム保存型幾何的積分法を提案する。特に局所制御理論に応用可能である。対称的組み合わせによる陰的中点法を基にし、幾何的性質を維持するとともに、10⁻⁹の波動関数誤差において、明示的分離作用素法と比較して最大40万倍の高速化を達成する。量子制御シミュレーションにおける精度と効率の向上が顕著である。

ABSTRACT

The explicit split-operator algorithm has been extensively used for solving not only linear but also nonlinear time-dependent Schr\"{o}dinger equations. When applied to the nonlinear Gross-Pitaevskii equation, the method remains time-reversible, norm-conserving, and retains its second-order accuracy in the time step. However, this algorithm is not suitable for all types of nonlinear Schr\"{o}dinger equations. Indeed, we demonstrate that local control theory, a technique for the quantum control of a molecular state, translates into a nonlinear Schr\"{o}dinger equation with a more general nonlinearity, for which the explicit split-operator algorithm loses time reversibility and efficiency (because it has only first-order accuracy). Similarly, the trapezoidal rule (the Crank-Nicolson method), while time-reversible, does not conserve the norm of the state propagated by a nonlinear Schr\"{o}dinger equation. To overcome these issues, we present high-order geometric integrators suitable for general time-dependent nonlinear Schr\"{o}dinger equations and also applicable to nonseparable Hamiltonians. These integrators, based on the symmetric compositions of the implicit midpoint method, are both norm-conserving and time-reversible. The geometric properties of the integrators are proven analytically and demonstrated numerically on the local control of a two-dimensional model of retinal. For highly accurate calculations, the higher-order integrators are more efficient. For example, for a wavefunction error of $10^{-9}$, using the eighth-order algorithm yields a $48$-fold speedup over the second-order implicit midpoint method and trapezoidal rule, and $400000$-fold speedup over the explicit split-operator algorithm.

研究の動機と目的

• 本稿は、局所制御理論に生じる一般の非線形時間依存シュレーディンガー方程式に対する効率的で幾何的性質を保つ積分法の欠如に取り組む。
• 広く用いられている明示的分離作用素アルゴリズムが、時間反転対称性を保つことができず、一般の非線形性においては時間方向で唯一1次精度にとどまることを特定する。
• 非分離ハミルトニアンを有する非線形シュレーディンガー方程式に対して、高次かつ時間反転対称的かつノルム保存型の積分法を開発することを目的とする。
• 幾何的性質が不可欠な高精度な量子制御シミュレーションのための堅牢な数値フレームワークを提供することを目的とする。

提案手法

• 著者らは、非線形時間依存シュレーディンガー方程式のための高次積分法を構築するために、陰的中点法の対称的組み合わせを用いる。
• 積分法は波動関数のノルムを保存し、一般の非線形項に対しても時間反転対称性を維持するように設計されている。
• 非分離ハミルトニアンは、元の幾何的構造を尊重する暗黙的ステップの合成として、時間発展演算を扱う。
• 各積分ステップで、調整可能な誤差許容範囲を持つ非線形方程式ソルバを用いて、精度を確保するとともに安定性を維持する。
• 積分法は、局所集団およびエネルギー制御のシナリオをテストするため、2次元レチナモデルに適用された。
• 数値的妥当性検証には、収束解析、前向き・後向き伝搬による時間反転対称性の検査、ノルム保存の監視が含まれる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の非線形時間依存シュレーディンガー方程式に対して、高次かつ時間反転対称的かつノルム保存型の積分法を構築できるか？
• RQ2 局所制御理論に応用する際、明示的分離作用素アルゴリズムは、グロス＝ピタエフスキー方程式を越える非線形性に対しても時間反転対称的かつ効率的であるか？
• RQ3 さまざまな数値パラメータと精度設定下で、異なる積分法の幾何的性質（ノルム保存、時間反転対称性）はどのように比較されるか？
• RQ4 高精度な波動関数伝搬を達成するための、高次幾何的積分法が2次および明示的手法に比べてどれほど計算効率に優れているか？
• RQ5 浮動小数点精度と非線形ソルバの許容誤差は、実際の暗黙的積分法の時間反転対称性にどのように影響を与えるか？

主な発見

• 8次精度積分法は、波動関数誤差10⁻⁹において、2次精度の陰的中点法および台形則と比較して48倍の高速化を達成する。
• 局所制御理論に適用された明示的分離作用素アルゴリズムは、時間方向で唯一1次精度にとどまり、時間反転対称性を失うが、グロス＝ピタエフスキー方程式に対しては2次精度を示す。
• 陰的中点法と台形則は時間反転対称性を保つが、一般の非線形性においてはノルム保存を実現するのは陰的中点法に限る。
• 近似明示的TVT分離作用素アルゴリズムはノルムを保存せず、浮動小数点精度にかかわらず本質的に時間反転非対称である。
• 陰的中点法の時間反転対称性は、時間ステップが小さくなる、非線形ソルバの誤差許容範囲が大きい、浮動小数点精度が低いなどの要因で、累積丸め誤差の影響により劣化する。
• 時間反転対称性を保つのは陰的中点法と台形則に限る。ノルム保存を実現するのは、テストされた状況において陰的中点法と明示的分離作用素法に限る。