[論文レビュー] Time-Space Trade-Offs for Longest Common Extensions

Philip Bille, Inge Li Goertz+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 1, 2012

Algorithms and Data Compression参考文献 19被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、最長共通接頭部（LCE）問題に対する滑らかな時間-空間トレードオフを提示する。$ O(n/\tau) $ の空間を用い、$ O(\tau \log(|⋯\mathrm{LCE}(i,j)|/\tau)) $ の時間でクエリに応答するデータ構造、あるいは $ O(n/\sqrt{\tau}) $ の空間と $ O(\tau) $ のクエリ時間を持つ構造を実現する。主な貢献は、従来の極端なケース（$ O(n) $ 空間で $ O(1) $ クエリ時間、$ O(1) $ 空間で $ O(n) $ クエリ時間）を統合・改善するほぼ最適なトレードオフの確立であり、文字列照合や回文検出への応用を有する。

ABSTRACT

We revisit the longest common extension (LCE) problem, that is, preprocess a string $T$ into a compact data structure that supports fast LCE queries. An LCE query takes a pair $(i,j)$ of indices in $T$ and returns the length of the longest common prefix of the suffixes of $T$ starting at positions $i$ and $j$. We study the time-space trade-offs for the problem, that is, the space used for the data structure vs. the worst-case time for answering an LCE query. Let $n$ be the length of $T$. Given a parameter $τ$, $1 \leq τ\leq n$, we show how to achieve either $O(\infrac{n}{\sqrtτ})$ space and $O(τ)$ query time, or $O(\infrac{n}τ)$ space and $O(τ\log({|\LCE(i,j)|}/τ))$ query time, where $|\LCE(i,j)|$ denotes the length of the LCE returned by the query. These bounds provide the first smooth trade-offs for the LCE problem and almost match the previously known bounds at the extremes when $τ=1$ or $τ=n$. We apply the result to obtain improved bounds for several applications where the LCE problem is the computational bottleneck, including approximate string matching and computing palindromes. We also present an efficient technique to reduce LCE queries on two strings to one string. Finally, we give a lower bound on the time-space product for LCE data structures in the non-uniform cell probe model showing that our second trade-off is nearly optimal.

研究の動機と目的

• 文字列アルゴリズムにおけるボトル neck である、最長共通接頭部（LCE）問題に対する滑らかな時間-空間トレードオフの欠如に対処すること。
• 空間使用量とクエリ時間の両立を図るデータ構造の開発。既知の二つの極端なケース（$ O(n) $ 空間で $ O(1) $ クエリ時間、$ O(1) $ 空間で $ O(n) $ クエリ時間）の間を滑らかに補間するものである。
• 差分被覆、コンパクトトライ、範囲最小値クエリの還元を組み合わせることで、ほぼ最適なトレードオフを達成すること。
• 確率的（モンテカルロおよびラスベガス）および決定的解法を提供し、性能の上限を明確に証明すること。
• 任意の $ O(n/\tau) $-空間 LCE データ構造が $ \Omega(\tau) $ のクエリ時間を持つことを示す下界を確立し、トレードオフのほぼ最適性を証明すること。

提案手法

• 差分被覆を用いて、文字列 $ T $ の $ O(n/\sqrt{\tau}) $ 個の接尾語をサンプリングし、最近共通祖先（NCA）クエリを伴うコンパクトトライを介して効率的な LCE 計算を可能にする。
• $ O(n/\tau) $-空間解法のため、文字列をサイズ $ \tau $ のブロックに分割し、ブロック代表間の LCE 値を事前に計算し、再帰的構造を用いて $ O(\tau \log(|⋯\mathrm{LCE}|/\tau)) $ 時間でクエリに応答する。
• 二文字列 LCE クエリを単一文字列 LCE に還元するため、一意な区切り文字を用いて文字列を連結し、ファINGERPRINTING を用いて部分文字列の比較を効率的に行う。
• 範囲最小値クエリ（RMQ）から LCE への還元を用い、下界を証明：任意の $ O(n/\tau) $-空間 LCE 構造は $ \Omega(\tau) $ のクエリ時間を持つ必要がある。
• 確率的ファINGERPRINTING を用い、ラスベガス変種では $ O(n\log n) $ の前処理時間と $ O(n) $ の空間を達成し、高確率で正しく動作する。
• ブロックベースのサンプリングとサンプリングされた接尾語における LCE 計算を組み合わせることで、空間とクエリ時間のトレードオフを実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $ O(n) $ 空間で $ O(1) $ クエリ時間、$ O(1) $ 空間で $ O(n) $ クエリ時間という二つの既知の極端なケースの間を滑らかに補間する、LCE 問題に対する滑らかな時間-空間トレードオフを達成できるか？
• RQ2 空間 $ O(n/\tau) $ で、$ O(\tau \log(|⋯\mathrm{LCE}(i,j)|/\tau)) $ 時間で LCE クエリをサポートするデータ構造を設計可能か？ また、効率的な前処理が可能か？
• RQ3 LCE データ構造の時間-空間積に対する理論的下界は何か？ また、実用的構成はその下界にどの程度近いか？
• RQ4 二文字列 LCE クエリを、特に一方の文字列が他方よりも著しく短い場合に、最小限のオーバーヘッドで単一文字列 LCE に還元可能か？
• RQ5 空間 $ O(n/\tau) $ の解法の確率的前処理を、$ O(n\log n) $ 時間と $ O(n) $ 空間を維持したまま、決定的化可能か？

主な発見

• 本稿では、$ O(n/\sqrt{\tau}) $ 空間と $ O(\tau) $ クエリ時間の時間-空間トレードオフを提示する。$ \tau = 1 $ の場合に $ O(1) $ 時間、$ O(n) $ 空間の解法と一致し、$ \tau = n $ の場合に $ O(n) $ 時間、$ O(1) $ 空間の解法と一致する。
• $ \tau = \sqrt{n} $ の場合、$ O(n/\sqrt{\tau}) $-空間解法は $ O(n^{3/4}) $ の空間と $ O(\sqrt{n}) $ のクエリ時間となり、滑らかな補間が達成される。
• 第二のトレードオフは、$ O(n/\tau) $ 空間と $ O(\tau \log(|⋯\mathrm{LCE}(i,j)|/\tau)) $ クエリ時間であり、ラスベガス変種では $ O(n) $ の前処理時間を持つ。
• 本稿では、非一様セルプローブモデルにおいて、任意の $ O(n/\tau) $-空間 LCE データ構造が $ \Omega(\tau) $ のクエリ時間を持つことを証明し、トレードオフがほぼ最適であることを示している。
• RMQ から LCE への還元により、時間-空間トレードオフが最適値から $ \log^2 n $ 要因以内に収まることを示し、このギャップを埋めるかは未解決の問題のまま残っている。
• 二文字列 LCE への還元により、文字列サイズの差を考慮したトレードオフを組み合わせられ、一方の文字列が他方よりも著しく短い場合に優れた性能が得られる。