[論文レビュー] Time stepping N-body simulations

Thomas Quinn, Neal Katz+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 3, 1997

Numerical methods for differential equations参考文献 2被引用数 14

ひとこと要約

本稿では、個々の粒子に個別のタイムステップを許容しつつも、単粒子系のテストにおいてシンプレクティック性を保つ、時間に適応するリーフログ型積分法を導入する。全系への適用ではタイムステップ選択に起因してシンプレクティック性を失うが、著者らはシンプレクティック性を放棄するが高精度を維持する修正された積分法を開発し、大規模な宇宙論的シミュレーションにおいて標準的手法を上回る性能を示した。さらに、宇宙論的N体コードに長年の欠陥をもたらしていた、共動座標系におけるシンプレクティックなリーフログ型定式化を導出した。

ABSTRACT

Leapfrog integration has been the method of choice in N-body simulations owing to its low computational cost for a symplectic integrator with second order accuracy. We introduce a new leapfrog integrator that allows for variable timesteps for each particle in large N-body simulations. Tests with single particles in fixed potentials show that it behaves as a symplectic integrator. We then examine the results of both standard leapfrog and our temporally adaptive leapfrog on full N-body integrations of clusters and large scale structure establishing accuracy criteria for both methods. The adaptive method shows significant speed-ups over single step integrations---but the integrator no longer appears to be symplectic or, in the case of large scale structure simulations, accurate. This loss of accuracy appears to be caused by the way that the timestep is chosen, not by the integrator itself. We present a related integration technique that does retain sufficient accuracy. Although it is not symplectic, it is apparently better than previous implementations and is our current integrator of choice for large astrophysical simulations. We also note that the standard leapfrog difference equations used in cosmological N-body integrations in comoving coordinates are not symplectic. We derive an implementation of leapfrog that is in comoving canonical coordinates to correct for this deficiency.

研究の動機と目的

• 大規模なN体シミュレーションに適した、時間に適応するシンプレクティック積分法を、個々の粒子に個別のタイムステップを許容する形で開発すること。
• 全N体系に適用した際の適応的リーフログ法におけるシンプレクティック性と精度の喪失を解消すること。
• 宇宙論的シミュレーションで用いられる共動座標系における標準的リーフログ法の非シンプレクティック性を是正すること。
• 大規模天体物理学的シミュレーションに実用的で、高精度かつ高効率な積分法を提供すること。

提案手法

• 個々の粒子に可変なタイムステップを許容しつつも、単粒子系のテストでシンプレクティック性を維持する新しいリーフログ型積分法を提案する。
• 粒子が局所的な動的時標に従って個別にタイムステップを進める階層的タイムステッピング方式を用いる。
• ラグランジアンに正準変換を適用することで、共動正準座標系におけるシンプレクティック積分法を導出し、エネルギーおよび位相空間の保存を保証する。
• KAM定理を適用して、ハミルトニアン系におけるシンプレクティック積分法の安定性を正当化する。
• シンプレクティック性を放棄するが、高精度と優れた性能を維持する修正された積分法を実装する。
• 臨界的および非平坦な物質支配宇宙における時間積分の解析的表現を導出し、共動座標系での正確な統合を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 大規模N体シミュレーションにおいて、リーフログ型積分法を時間に適応可能にしつつもシンプレクティック性を維持できるか？
• RQ2 単粒子系では良好に機能するが、全系に応用すると適応的リーフログ法が精度とシンプレクティック性を失う理由は何か？
• RQ3 適応的タイムステップを用いる際に精度が低下する原因は何か？ そして、性能を損なわずにこれを是正できるか？
• RQ4 共動座標系における標準的リーフログ法は真にシンプレクティックなのか？ もし非シンプレクティックであれば、どのように是正できるか？
• RQ5 シンプレクティック性を欠くが高精度な積分法を設計し、大規模な宇宙論的シミュレーションにおいて標準的手法を上回る性能を発揮できるか？

主な発見

• 提案された適応的リーフログ型積分法は、固定ポテンシャル内での単粒子系テストにおいてシンプレクティック性と2次精度を維持する。
• 全N体シミュレーションにおいて、適応的リーフログ法はタイムステップ選択アルゴリズムに起因してシンプレクティック性と精度を失うが、積分法の構造自体が原因ではない。
• シンプレクティック性を放棄するが、より洗練されたタイムステップ基準（η = 0.3）を用いる修正された積分法は高精度を達成し、著者らが大規模天体物理学的シミュレーションに現在好んで使用している。
• 共動座標系で用いられる標準的リーフログ法は非シンプレクティックであるが、正準変換と適切な共動正準座標系における時間積分を用いた修正版はシンプレクティックであることが示された。
• 共動座標系における新しいシンプレクティック積分法は、臨界的および非平坦な宇宙における時間積分の解析的解を用いることで、正確かつ効率的な長期積分を可能にした。
• 著者らは、自然なタイムステップの逆数に比例する作業量を重み付けした場合、時間に適応する手法が大規模N体シミュレーションで最大約50倍の高速化を達成できることを実証した。