[論文レビュー] Tits alternative for automorphism groups of compact Kaehler manifolds

Tien‐Cuong Dinh|arXiv (Cornell University)|Oct 13, 2012

Geometry and complex manifolds参考文献 31被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、コンパクト・カーラー多様体の自己同型群に対してティーツの代数的代替定理を確立し、任意のこのような群が非可換な自由部分群を含むか、あるいは有限指数の可解部分群を持つことを証明する。主な結果は、ゼロエントロピー自己同型の群が正規部分群をなすことであり、商群は複素次元 $k$ とカルトゥール・次元に依存する $κ$ を用いて、階数が高々 $k - \kappa - 1$ の自由アーベル群である。証明は混合ホッジ＝ライマンの定理と力学的次数の解析に依拠している。

ABSTRACT

We survey some properties of the automorphism groups of compact Kaehler manifolds. In particular, we present recent results by Keum, Oguiso and Zhang on the structure of these groups from the Tits alternative point of view. Several other related results will be also discussed. This paper is written for the VIASM Annual Meeting 2012.

研究の動機と目的

• コンパクト・カーラー多様体の自己同型群に対してティーツの代数的代替定理を確立し、Keum-Oguiso-Zhang による予想を確認すること。
• 非可換自由部分群を含まないという仮定の下で、自己同型群の構造を分析すること。
• ゼロエントロピー自己同型の部分群を特徴付け、有限指数の可解部分群の商群の階数を特定すること。
• 自己同型の力学的エントロピーを、力学的次数やコhomology的作用といった代数的不変量と関連付けること。

提案手法

• 自己同型のコhomology的作用を分析するために、ホッジ＝ライマンの定理の混合版を用いる。
• 自己同型群作用における不変クラスを、ケーラー円錐内の不変クラスに適用して、不変コhomologyクラスを構成するため、ペロン＝フロベニウスの定理を適用する。
• 自己同型作用における正値性と不変性を保証するために、弱ホッジ＝ライマン（wHR）クラスの概念を用いる。
• コhomologyクラスへの作用の対数的特徴値によって定義される群準同型 $\phi: G' \to \mathbb{R}^{k-\kappa-1}$ を導入する。
• 不等式 $\|\phi(g)\| \geq \frac{1}{2} \log d_{k-1}(g)$ を用いて、像の離散性を証明し、商群が自由アーベル群であることを保証する。
• トポロジー的エントロピーと力学的次数を等置するヨムディン＝グロモフ理論に依拠し、力学と代数的幾何学を結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクト・カーラー多様体の自己同型群はティーツの代数的代替定理を満たすか、すなわち非可換自由部分群を含むか、あるいはほとんど可解であるか？
• RQ2 正のエントロピーを持つ自己同型の自由アーベル部分群の最大階数は何か？
• RQ3 自己同型 $g$ の力学的次数 $d_{k-1}(g)$ は、$g^*$ によるケーラー円錐上のコhomology的作用とどのように関係するか？
• RQ4 ゼロエントロピー自己同型の部分群は、有限指数の可解部分群内での正規部分群として特徴付けられるか？
• RQ5 商群 $G'/N'$ の階数の明確な上限は何か？そしてそれは最適か？

主な発見

• 次元 $k$ のコンパクト・カーラー多様体 $X$ の自己同型群 $\mathrm{Aut}(X)$ は、ティーツの代数的代替定理を満たす。任意の非可換自由部分群を含まない部分群は、ほとんど可解である。
• 任意のこのような群 $G$ に対して、可解な有限指数部分群 $G'$ が存在し、ゼロエントロピーの自己同型が正規部分群 $N'$ をなす。
• 商群 $G'/N'$ は、$\kappa = \max(\kappa_X, 0)$ が $\kappa_X < k$ のとき、そうでなければ $\kappa = k-1$ と定義される $\kappa$ を用いて、階数が高々 $k - \kappa - 1$ の自由アーベル群である。
• 例として、$\mathrm{SL}(k,\mathbb{Z})$ が複素トーラスに作用する場合、階数 $k-1$ の自由アーベル部分群が正のエントロピーをもつことから、階数の上限が最適であることが示された。
• 自己同型 $g$ のトポロジー的エントロピーがゼロであることは、$\phi(g) = 0$ であることと同値である。ここで $\phi$ は、コhomology作用への対数固有値を符号化する準同型である。
• 像 $\phi(G')$ は $\mathbb{R}^{k-\kappa-1}$ 内で離散的であり、これにより $G'/N'$ が有限階数の自由アーベル群であることが保証される。