[論文レビュー] Tits alternative in hypekähler manifolds

Keiji Oguiso|ArXiv.org|Apr 6, 2005

Geometry and complex manifolds参考文献 10被引用数 10

ひとこと要約

この論文は、射影的ハイパーカラーエルマンイフォルムの双正則自己同型群に対してティーツの代替定理を確立する。このような群は、非可換自由群を含むか、有限ランクのほぼアーベル群のいずれかである。主な結果は、特異K3表面およびそのヒルベルトスキームの自己同型群へと拡張され、正のモルデル＝ヴァイエルストラス・ランクをもつヤコビアンファイブレーションの存在によって、非可換自由部分群を含むことが示された。

ABSTRACT

We show an analogous result of the famous Tits alternative for a group G of birational automorphisms of a projective hyperkäher manifold: Either G contains a non-commutative free group or G is an almost abelian group of finite rank. As an application, we show that the automorphism groups of the so-called singular K3 surfaces contain non-commutative free groups.

研究の動機と目的

• 射影的ハイパーカラーエルマン多様体の双正則自己同型群に対してティーツの代替定理を確立すること。
• 特異K3表面およびそのヒルベルトスキームの自己同型群の構造を調査すること。
• そのような群が非可換自由部分群を含むか、またはほとんどアーベル群であるかどうかを特定すること。
• 格理論的および群論的技法を用いて、K3表面に関する既知の結果を高次元のハイパーカラーエルマン多様体へと拡張すること。

提案手法

• 線型代数的群のティーツの代替定理を、双正則自己同型群のネロン＝セバール表現による像に適用する。
• ネロン＝セバール準同型の核が有限であるという事実を用い、像から群の性質が持ち上がるようにする。
• 射影的ハイパーカラーエルマン多様体におけるネロン＝セバール格子の双曲的性を活用し、非退化な交差形式を保証する。
• 正のモルデル＝ヴァイエルストラス・ランクをもつヤコビアンファイブレーションの存在を活用し、非アーベル自由群を生成する要素を構成する。
• テーブル・テニス補題および双曲幾何学を用いて、非可換自由部分群の存在を明示的に検証する。
• ヒルベルトスキームの普遍性を用い、K3表面からの自己同型をそのヒルベルトスキームへと持ち上げる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 射影的ハイパーカラーエルマン多様体の双正則自己同型群はティーツの代替定理を満たすか？
• RQ2 特異K3表面の自己同型群が非可換自由部分群を含む条件は何か？
• RQ3 K3表面から高次元のハイパーカラーエルマン多様体へとティーツの代替定理を拡張できるか？
• RQ4 特異K3表面のヒルベルトスキームの自己同型群は、非可換な意味で非アーベル的か？
• RQ5 ヤコビアンファイブレーションのモルデル＝ヴァイエルストラス群と、双正則自己同型群の構造との関係は何か？

主な発見

• 任意の射影的ハイパーカラーエルマン多様体の双正則自己同型群は、ティーツの代替定理を満たす。すなわち、有限ランクのほぼアーベル群であるか、非可換自由部分群を含む。
• ハイパーカラーエルマン多様体が正のモルデル＝ヴァイエルストラス・ランクをもつ2つのヤコビアンファイブレーションをもてば、その双正則自己同型群は非可換自由部分群を含む。
• 特異K3表面（ピカール数20）の自己同型群は、非可換自由部分群を含む。
• 特異K3表面 $S$ のヒルベルトスキーム $\mathrm{Hilb}^n(S)$ の自己同型群も、非可換自由部分群を含む。
• この結果により、ティーツの代替定理における非アーベル的代替が、特異K3表面のヒルベルトスキームを通じて、すべての次元で実現されることが示された。
• 証明は、線型代数的群およびセーレム多項式に関する深い結果に依拠しており、ネロン＝セバール格子の構造が中心的な役割を果たす。