[論文レビュー] Tits Geometry and Positive Curvature

Fuquan Fang, Karsten Grove+1 more|arXiv (Cornell University)|May 28, 2012

Advanced Algebra and Geometry参考文献 38被引用数 22

ひとこと要約

本論文は、双連結でコンパクトかつ正曲率のコhomogeneityが2以上の多様体上の任意の極座標作用が、コンパクトなランク1の対称空間（球面、複素またはクaternion的射影空間、またはオクタニオン平面）上の極座標作用と同相微分同相であることを確立している。作用のチャーマー系とその普遍ティーツ被覆を分析することで、著者たちはこの被覆がコンパクトな球面的ビルディングをなしており、ティーツ幾何とコクセター群構造を用いて、このような作用の完全分類が可能であることを示している。

ABSTRACT

There is a well known link between (maximal) polar representations and isotropy representations of symmetric spaces provided by Dadok. Moreover, the theory by Tits and Burns-Spatzier provides a link between irreducible symmetric spaces of non-compact type of rank at least three and irreducible topological spherical buildings of rank at least three. We discover and exploit a rich structure of a (connected) chamber system of finite (Coxeter) type M associated with any polar action of cohomogeneity at least two on any simply connected closed positively curved manifold. Although this chamber system is typically not a Tits geometry of type M, we prove that in all cases but two that its universal Tits cover indeed is a building. We construct a topology on this universal cover making it into a compact spherical building in the sense of Burns and Spatzier. Using this structure we classify up to equivariant diffeomorphism all polar actions on (simply connected) positively curved manifolds of cohomogeneity at least two.

研究の動機と目的

• 双連結でコンパクトかつ正曲率のコホモロジー次元が2以上の多様体上のすべての極座標作用を分類すること。
• このような作用に関連するチャーマー系の幾何学的・代数的構造を理解すること。
• このチャーマー系の普遍ティーツ被覆が、2つの例外を除きすべてのケースでコンパクトな球面的ビルディングをなすことの証明。
• ティーツ幾何を通じて極座標作用と古典的対称空間およびビルディング理論との関係を確立すること。
• このような作用が、ランク1の対称空間上の作用と同相微分同相であることを示し、剛性分類を達成すること。

提案手法

• 正曲率多様体上の極座標作用の軌道構造から、有限コクセター型のチャーマー系を構成する。
• ティーツとバーンズ・スポッツィエのビルディングおよび群作用に関する結果を用いて、このチャーマー系の普遍被覆の構造が球面的ビルディングであることを分析する。
• ダドックの研究による極表現および対称空間の同相的表現の分類を用い、作用を既知の幾何的モデルと関連付ける。
• チャーマー系およびその普遍被覆の理論を応用し、作用が球面または射影空間上の線形極座標作用と軌道同値であることを導出する。
• 表現論および球面上の推移的作用を用いて、非線形的または非均質的作用を除外する。特にオクタニオン平面のケースにおいて。
• チャーマー系の普遍被覆がビルディングであるという事実を用いて、作用がランク1の対称空間上の既知の作用と同相微分同相であるべきであることを導く。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コホモロジー次元が2以上の正曲率多様体上の極座標作用に関連するチャーマー系の構造は何か？
• RQ2 このチャーマー系の普遍ティーツ被覆がコンパクトな球面的ビルディングである条件は何か？
• RQ3 このようなすべての極座標作用を同相微分同相の意味で分類可能か？
• RQ4 作用の安定化部分群（極座標群）は、可能な幾何的実現をどのように制約するか？
• RQ5 オクタニオン平面における例外的作用は分類において果たす役割は何か？

主な発見

• 双連結でコンパクトかつ正曲率のコホモロジー次元が2以上の多様体上の極座標作用に関連するチャーマー系の普遍ティーツ被覆は、2つの例外を除き、すべてのケースでコンパクトな球面的ビルディングをなす。
• このような作用の極座標群はコクセター群またはそのZ2商であり、断面は線形作用を伴う球面または実射影空間と同相微分同相である。
• このような多様体上のすべての極座標作用は、コンパクトなランク1の対称空間：球面、複素またはクaternion的射影空間、またはオクタニオン平面への作用と同相微分同相である。
• オクタニオン平面における例外的作用は、SU(3)×SU(3)およびSO(3)×G2によるものであり、両方とも角度π/2、π/3、π/4の球面的三角形を軌道空間として持つ。
• 拡張群G′のS³因子による射影空間への作用は自明であり、非線形拡張を除外し、分類を支持する。
• HP(n)上のほとんど効果的作用の核はSp(1)に含まれるが、これはクaternion的射影空間の既知の等長群構造と整合的である。