[論文レビュー] To be unitary-invariant or not?: a simple but non-trivial proposal for the complexity between states in quantum mechanics/field theory

Run-Qiu Yang, Yu-Sen An+3 more|arXiv (Cornell University)|Jun 5, 2019

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 59被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、量子力学および場の理論における量子状態のユニタリ不変な複雑性測度を提案し、$\bar{\mathcal{C}}(|\psi_1\rangle,|\psi_2\rangle) = -\ln|\langle\psi_1|\psi_2\rangle|^2$ として定義する。この測度は、カオス的系において線形増加を再現し、それらの基準状態を特定することにより、CVおよびCAホログラフィー的予想を自然に説明する。このアプローチは、非ユニタリな複雑性における矛盾を解消し、複雑性増加をリャプノフ指数に関連付ける。

ABSTRACT

We make comments on some shortcomings of the non-unitary-invariant and non-bi-invariant complexity in quantum mechanics/field theory and argue that the unitary-invariant and bi-invariant complexity is still a competitive candidate in quantum mechanics/field theory, contrary to quantum circuits in quantum computation. Based on the unitary-invariance of the complexity and intuitions from the holographic complexity, we propose a novel complexity formula between two states. Our proposal shows that i) the complexity between certain states in two dimensional CFTs is given by the Liouville action, which is compatible with the path-integral complexity; ii) it also gives natural interpretation for both the CV and CA holographic conjectures and identify what the reference states are in both cases. Our proposal explicitly produces the conjectured time dependence of the complexity: linear growth in chaotic systems. Last but not least, we present interesting relations between the complexity and the Lyapunov exponent: the Lyapunov exponent is proportional to the complexity growth rate in linear growth region.

研究の動機と目的

• 量子場理論における一貫性があり、ユニタリ不変な複雑性の定義が不足している問題に対処すること。
• CVおよびCAホログラフィック複雑性予想の背後にある基準状態を明確にすること。
• カオス的系における複雑性の時間発展を、ユニタリ不変な定式化と調和させること。
• ユニタリ不変な複雑性が、線形増加、飽和、再発の三段階時間発展を期待通りに再現できることを示すこと。

提案手法

• 量子状態間の重なりに基づく、新しい複雑性式を提案：$\bar{\mathcal{C}}(|\psi_1\rangle,|\psi_2\rangle) = -\ln|\langle\psi_1|\psi_2\rangle|^2$。
• この式が2次元CFTにおいてリウヴィル作用に還元されることを示し、経路積分による複雑性と関連づける。
• CV予想の基準状態を、マージナル演算子による摂動を受けるTFD状態として特定する。
• CA予想の基準状態を、境界場演算子の固有状態として特定する。
• カオス的系において線形複雑性増加 $\bar{\mathcal{C}}(t) = \lambda_L t + \cdots$ を導出し、増加率がリャプノフ指数 $\lambda_L$ に比例することを示す。
• 線形増加が止まる崩壊時間 $t_{cl} \sim -\frac{1}{2\lambda_L}\ln(c_1\hbar)$ を確立し、量子再発と整合的であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ユニタリ不変な複雑性測度は、カオス的量子系における期待される時間発展を再現できるか？
• RQ2 CVおよびCAホログラフィック複雑性予想の背後にある基準状態は何か？
• RQ3 2次元CFTにおけるリウヴィル作用は、どのように複雑性測度として解釈できるか？
• RQ4 ユニタリ不変性を満たす、量子場理論における一貫性のある、内在的な局所性の定義は存在するか？
• RQ5 線形領域において、リャプノフ指数は複雑性増加率と直接関係づけられるか？

主な発見

• 提案された複雑性式 $\bar{\mathcal{C}}(|\psi_1\rangle,|\psi_2\rangle) = -\ln|\langle\psi_1|\psi_2\rangle|^2$ はユニタリ不変であり、カオス的系において線形複雑性増加 $\bar{\mathcal{C}}(t) = \lambda_L t + \cdots$ を再現する。
• 真空状態と場演算子の固有状態との間の複雑性は、分配関数で与えられ、古典的極限ではオンシェルユークリッド作用に一致し、リウヴィル作用と関連づけられる。
• CV予想は、TFD状態とそのマージナル演算子による摂動を受けるバージョンとの間の複雑性として解釈され、CA予想はTFD状態と場の固有状態との間の複雑性に対応する。
• CVおよびCA予想における複雑性の時間発展は、異なる基準状態のおかげで自然に説明され、初期時間における挙動の相違が解消される。
• 複雑性増加率はリャプノフ指数 $\lambda_L$ に比例し、場の理論では $\dot{\bar{\mathcal{C}}}(t) \propto E + \cdots$ となる。これは既知の結果と一致する。
• Fubini-Study距離における矛盾は解消され、晩期におけるホログラフィック複雑性とも整合的であり、QFTにおけるユニタリ不変な複雑性の妥当性を支持する。