[論文レビュー] To how many simultaneous hypothesis tests can normal, Student's t or bootstrap calibration be applied?

Jianqing Fan, P. Hall+1 more|ArXiv.org|Dec 29, 2006

Statistical Methods in Clinical Trials参考文献 18被引用数 11

ひとこと要約

本稿は、正規分布、スチューデントのt分布、またはブートストラップ法を用いた場合に、同時に検定可能な仮説の数の理論的上限を確立している。正規分布またはt分布による補正では、log N が n^{1/3} よりも遅やかに増加しなければならず、一方ブートストラップ補正では log N が n^{1/2} にほぼ達するまで増加可能であり、マイクロアレイ解析のような高次元設定において顕著な利点を示している。

ABSTRACT

In the analysis of microarray data, and in some other contemporary statistical problems, it is not uncommon to apply hypothesis tests in a highly simultaneous way. The number, $ν$ say, of tests used can be much larger than the sample sizes, $n$, to which the tests are applied, yet we wish to calibrate the tests so that the overall level of the simultaneous test is accurate. Often the sampling distribution is quite different for each test, so there may not be an opportunity for combining data across samples. In this setting, how large can $ν$ be, as a function of $n$, before level accuracy becomes poor? In the present paper we answer this question in cases where the statistic under test is of Student's $t$ type. We show that if either Normal or Student's $t$ distribution is used for calibration then the level of the simultaneous test is accurate provided $\logν$ increases at a strictly slower rate than $n^{1/3}$ as $n$ diverges. On the other hand, if bootstrap methods are used for calibration then we may choose $\logν$ almost as large as $n\half$ and still achieve asymptotic level accuracy. The implications of these results are explored both theoretically and numerically.

研究の動機と目的

• N ≫ n（標本サイズ）の条件下で、正確に補正可能な同時仮説検定の最大数 N を特定すること。
• 高次元設定下での正規分布、スチューデントのt分布、およびブートストラップ補正法の漸近的有意水準の正確さを評価すること。
• 家族誤差率または偽発見率の制御を維持するための log N と n との関係における理論的上限を確立すること。
• N の増加に伴う各補正法のスケーラビリティ（スケーラビリティ）を比較すること。

提案手法

• 著者らは、正規分布、t分布、およびブートストラップ近似の下での検定統計量の尾部挙動を分析するために、エッジワース展開および大偏差展開を用いる。
• 標本積率を用いて歪度や尖度項を組み込んだt統計量およびそのブートストラップ版の漸近的展開を導出する。
• 標本モーメントと母集団モーメントの乖離を制御するため、ベルンシュタインの不等式および経験過程の一様収束性に依存する。
• 異なる補正方式における検定統計量の分位数推定誤差を分析することで、理論的境界を導出する。
• 同時推論のための臨界値の正確さに注目し、母集団分布の中心部および尾部挙動を両方検討する。
• 証明により、ブートストラップ補正では log N が o(n^{1/2}) の範囲で正確性を維持できることが示され、正規分布／t分布補正では log N = o(n^{1/3}) が必要であることが判明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 N ≫ n の場合に、許容可能な有意水準の正確さを達成できる同時仮説検定の最大数 N は何か？
• RQ2 補正法の選択（正規分布、t分布、ブートストラップ）が、高次元設定における同時推論のスケーラビリティに与える影響は何か？
• RQ3 歪度や重尾を持つ分布の下で、正規分布またはt分布補正が大規模な N に対しても有効であるための条件は何か？
• RQ4 log N が n^{1/2} にほぼ達するまで増加する場合、ブートストラップ補正は漸近的有意水準の正確さを維持できるか？
• RQ5 P値推定の必要精度は N にどのように依存するか？ また、その影響は偽発見率制御にどのような意味を持つのか？

主な発見

• 正規分布またはスチューデントのt分布による補正では、歪度や重尾を持つ分布であっても、漸近的有意水準の正確さを維持できるのは log N = o(n^{1/3}) の場合に限る。
• ブートストラップ補正では、log N = o(n^{1/2}) の範囲で漸近的有意水準の正確さを維持でき、正規分布／t分布補正に比べて制約が著しく緩和される。
• ブートストラップ補正による改善は、標本分布の歪度や高次モーメントをよりよく捉える能力に起因する。
• 理論的境界は最小限のモーメント条件のもとで成立する：正規分布／t分布補正には3次のモーメントの有界性が十分であり、ブートストラップ補正にはより強いモーメント制約が必要である。
• 数値的探索により、理論的境界が裏付けられており、N が n^{1/2} に近づく場合でもブートストラップ補正が正確であることが示されている。
• これらの結果から、遺伝子発現解析などの分野における大規模な多重検定には、ブートストラップ法が漸近的近似法よりもはるかに適していることが示唆される。