[論文レビュー] To square root the Lagrangian or not: an underlying geometrical analysis on classical and relativistic mechanical models

B. F. Rizzuti, G. F. Vasconcelos Júnior+1 more|arXiv (Cornell University)|May 1, 2019

Dynamics and Control of Mechanical Systems被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、古典的および相対論的力学における2つのラグランジュ形式の根本的な幾何的差異を分析している：1つは弧長を最小化する（S₁ = ∫√g(V,V)dτ）、もう1つは運動エネルギーを極値化する（S₂ = ∫½g(V,V)dτ）。両者とも固定速度制約下では同一の運動方程式を導くが、再パrametrization不変性のため、前者は物理的時間の解釈を欠くことになり、隠れた制約構造が明らかになる。主たる貢献は、キリングベクトル場の解析を用いて、ヘルツの力なし力学におけるような補助自由度を一貫して除去できる幾何的証明を提示したことである。これにより、非一意性や対称性の破れの問題が解消される。

ABSTRACT

The geodesic has a fundamental role in physics and in mathematics: roughly speaking, it represents the curve that minimizes the arc length between two points on a manifold. We analyze a basic but misinterpreted difference between the Lagrangian that gives the arc length of a curve and the one that describes the motion of a free particle in curved space. Although they provide the same formal equations of motion, they are not equivalent. We explore this difference from a geometrical point of view, where we observe that the non-equivalence is nothing more than a matter of symmetry. As applications, some distinct models are studied. In particular, we explore the standard free relativistic particle, a couple of spinning particle models and also the forceless mechanics formulated by Hertz.

研究の動機と目的

• 曲がった空間における二乗根型と非二乗根型ラグランジアンの非等価性を、運動方程式が同一であるにもかかわらず明確化すること。
• 再パラメータ化不変性および第一種制約が物理的でない自由度と物理的自由度をどのように区別するかを特定すること。
• キリングベクトル場を用いた幾何的根拠を提示し、ヘルツの力なし力学のようなモデルにおける補助変数の除去を正当化すること。
• 物理空間における力が、拡張された曲がった多様体において対称性の破れとして現れることを示すこと、すなわち系が自由に記述されていながらも。

提案手法

• （擬）リーマン多様体上の微分幾何学を用い、2つの作用関数 S₁ = ∫√g(V,V)dτ と S₂ = ∫½g(V,V)dτ を比較する。
• リーマン接続と測地線方程式を用いて、両作用から運動方程式を導出する。
• 再パラメータ化不変性に起因する第一種制約を二乗根作用 S₁ において特定し、物理的でない自由度を示す。
• ヘルツの形式において、特に補助変数 X の対称性をキリングベクトル場を用いて分析する。
• 力が存在する場合、∂X がキリングベクトル場でないことを示し、拡張空間における対称性の破れを示す。
• 解を拡張多様体から物理空間に射影し、非一意性を示し、補助自由度の除去を正当化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 二乗根型と非二乗根型ラグランジアンが、幾何的および力学的差異があるにもかかわらず、どのような条件下で等価となるか？
• RQ2 S₁における再パラメータ化不変性が物理的でない自由度を生じる仕組みは何か？ そして、S₂ではどのようにしてこの問題が解決されるか？
• RQ3 ヘルツの力なし力学における補助変数 X が物理的力学に寄与しないのはなぜか？ そして、その幾何的根拠は何か？
• RQ4 キリングベクトル場が、拡張多様体における物理的対称性を特定し、物理的でない自由度を排除する役割を果たす仕組みは何か？
• RQ5 物理空間に力が存在する場合、それは拡張された曲がった多様体においてどのように対称性の破れとして現れるのか？

主な発見

• 二乗根作用 S₁ は再パラメータ化不変であり、第一種制約を含むため物理的でない自由度を示唆するが、S₂ ではこの対称性が破れ、進化パラメータに物理的意味が与えられる。
• 2つの作用が同一の運動方程式を導くのは、g(V,V) = const という制約を課した場合に限る。これは、両者の等価性が条件的であることを証明する。
• ヘルツの形式において、補助変数 X は物理的でない。なぜなら、ベクトル場 ∂X がキリングベクトル場でないため、等方性が破れているからである。
• X 方向を含む固定軸まわりの回転は、拡張多様体の等長変換でない。これは ∂X が特権的であり、物理的力学から除外すべきであることを確認する。
• 物理空間に力が存在する場合、拡張空間においても ∂X は対称性生成子でない。これは、粒子がその空間で自由であっても同様に成り立つ。
• 異なる初期値 X をもつ解が同じ物理的軌道に射影されることを幾何的証明により示し、射影による補助自由度の除去を正当化する。