[論文レビュー] Toda chain from the kink-antikink lattice

Song He, Yunguo Jiang+1 more|arXiv (Cornell University)|May 23, 2016

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 38被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、$φ^4$、$φ^6$、$φ^8$ ポテンシャルを有する1+1次元スカラー場理論におけるキント・アンチキント格子から、トーダ格子を導出する。遠く離れたキント間の一次および二次の力（距離とともに指数関数的に減衰する）を計算することで、著者らはキント格子の力学が一次近似で正確に非周期的トーダ格子に対応し、二次近似で新しい変形トーダ格子に対応することを示している。この変形系は高次の補正項によって完全な可積分性が破られるため、近似的に可積分である。

ABSTRACT

In this paper, we have studied the kink and antikink solutions in several neutral scalar models in 1+1 dimension. We follow the standard approach to write down the leading order and the second order force between long distance separated kink and antikink. The leading order force is proportional to exponential decay with respect to the distance between the two nearest kinks or antikinks. The second order force have a similar behavior with the larger decay factor, namely $3\over 2$. We make use of these properties to construct the kink lattice. The dynamics of the kink lattice with leading order force can be identified as ordinary nonperiodic Toda lattice. Also the periodic Toda lattice can be obtained when the number of kink lattice is even. The system of kink lattice with force up to the next order corresponds to a new specific deformation of Toda lattice system. There is no well study on this deformation in the integrable literatures.We found that the deformed Toda system are near integrable system, since the integrability are hindered by high order correction terms. Our work provides a effective theory for kink interactions and a new near or quasi integrable model.

研究の動機と目的

• 1+1次元スカラー場理論におけるマルチキント解と可積分系、特にトーダ格子との間の力学的対応を調査すること。
• $φ^4$、$φ^6$、$φ^8$ モデルにおけるキントとアンチキントの間の長距離力（分離距離の2次まで）を計算すること。
• 得られたキント格子力学が一次近似で非周期的トーダ格子と同型であり、二次近似で新しい変形トーダ格子に対応することを特定すること。
• キント相互作用から導かれる変形トーダ系の可積分性の性質を調査すること。

提案手法

• 解析的手法を用いて、$φ^4$、$φ^6$、$φ^8$ スカラー場理論における広く離れたキント・アンチキント対間の一次および二次の力を計算する。
• 力則が距離とともに指数関数的に減衰することを特定し、一次近似では減衰因子が1、二次近似では$3/2$であることを示す。
• キント位置をトーダ格子のサイト変数に対応させることで、キント格子力学をトーダ格子に写像する。
• フラシュカ変換を用いて、二次力から導かれる変形トーダ系の$N \times N$ ラクスペア表現を構成する。
• 得られた系の可積分性を分析し、高次補正項が完全な可積分性を破ることを示し、系が近似的に可積分であることを示す。
• トーダ系における$2 \times 2$ ラクスペア表現を通じて、マルチキント解とクラスタ座標の間の対応を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 1+1次元スカラー場理論におけるキント・アンチキント格子の力学は、トーダ格子系に写像可能か？
• RQ2 異なる自己相互作用ポテンシャル（$φ^4$、$φ^6$、$φ^8$）において、キント間の一次および二次力は普遍的であるか？
• RQ3 二次キント相互作用を含めた場合に生じるトーダに類似した系の性質は何か？
• RQ4 得られた変形トーダ系は可積分的か、それとも近可積分的モデルであるか？
• RQ5 マルチキント解は、トーダ系におけるポisson構造およびクラスタ座標とどのように関係しているか？

主な発見

• 遠く離れたキントとアンチキント間の一次力は、$e^{-|q_i - q_{i+1}|}$ に比例して減衰し、非周期的トーダ格子の力則と一致する。
• 二次力は、$e^{-\frac{3}{2}|q_i - q_{i+1}|}$ に比例して減衰し、$φ^4$、$φ^6$、$φ^8$ モデル間で普遍的である。
• 一次力のみを含むキント格子は、キント数が格子サイト数に等しい非周期的トーダ格子と同型である。
• キント・アンチキント対の数が偶数の場合、真空境界条件と整合し、周期的トーダ格子に写像される。
• 二次力を取り入れると、追加の指数的相互作用項を有する新しい変形トーダ格子系が得られ、高次補正項により完全な可積分性が破れるため、完全には可積分ではない。
• 変形トーダ系はフラシュカ変換を用いたラクスペア表現を有するが、可積分性が高次項によって妨げられるため、近可積分的または準可積分的と分類される。