[論文レビュー] Toeplitz band matrices with small random perturbations

Johannes Sjoestrand, Martin Vogel|arXiv (Cornell University)|Jan 25, 2019

Random Matrices and Applications参考文献 15被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、小さな複素ガウス確率的摂動を受ける大きな $N\times N$ ベルヌーイ型トーペリッツ帯行列のスペクトル的挙動を研究する。確率的ウェイリ法を確立し、高確率でほとんどすべての固有値が $\mathcal{O}(N^{-1+\varepsilon})$ の範囲内に符号曲線 $p(S^1)$ に集中することを証明する。非正規性にもかかわらず、固有値はスペクトル曲線付近に集中することが示された。

ABSTRACT

We study the spectra of $N imes N$ Toeplitz band matrices perturbed by small complex Gaussian random matrices, in the regime $N\gg 1$. We prove a probabilistic Weyl law, which provides an precise asymptotic formula for the number of eigenvalues in certain domains, which may depend on $N$, with probability sub-exponentially (in $N$) close to $1$. We show that most eigenvalues of the perturbed Toeplitz matrix are at a distance of at most $\mathcal{O}(N^{-1+\varepsilon})$, for all $\varepsilon >0$, to the curve in the complex plane given by the symbol of the unperturbed Toeplitz matrix.

研究の動機と目的

• 非自己共役トーペリッツ帯行列のスペクトル分布が小さな確率的摂動を受けるときの挙動を理解すること。
• 領域が $N$ に依存する場合を含む、$N$ に依存する領域における固有値数に対する確率的ウェイリ法を確立すること。
• 複素平面上の符号曲線 $p(S^1)$ に対する固有値の漸近的局在を分析すること。
• 確率的摂動が誤った固有値を抑制し、本質的スペクトル付近に再び固有値の集中を回復させることを示すこと。

提案手法

• 摂動されたトーペリッツ作用素のリゾルベントおよび固有値数の解析に、グルシン問題フレームワークを用いる。
• 大偏差推定とボレル・カンテリの議論を用いて、確率的ウェイリ法を応用し、固有値分布を制御する。
• 固有値数え上げを制限測度のグリーン関数に関連付けるために、対数ポテンシャル $U_{\mu}(z) = -\frac{1}{2\pi}\int \log|z-w|\,d\mu(w)$ を用いる。
• グリュシン枠組みにおける非対角ブロック $E_{-+}^\delta(z)$ の漸近的展開および推定を用いて、行列式 $\det(P_N^\delta - z)$ を分析する。
• ヒルベルト＝シュミットノルムおよび複素ガウス確率的行列理論を用い、i.i.d. 複素ガウス要素を持つ小さな摂動 $\delta Q_\omega$ をモデル化する。
• ${\mathcal D}'$ 上での対数ポテンシャルの収束を用いて、経験的スペクトル測度 $\xi_N$ が $\xi = p_*\left(\frac{1}{2\pi}L_{S^1}\right)$ に収束することを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 大きな非自己共役トーペリッツ帯行列のスペクトルは、小さな確率的摂動を受けるとどのように振る舞うか？
• RQ2 $N \to \infty$ かつ摂動 $\delta \ll 1$ のとき、複素平面上での固有値の漸近的分布は何か？
• RQ3 領域が $N$ に依存する場合に、固有値数に対する確率的ウェイリ法を確立できるか？
• RQ4 固有値は符号曲線 $p(S^1)$ にどの程度集中するか？
• RQ5 摂動された行列の経験的スペクトル測度は、無限大トーペリッツ作用素のスペクトル測度にどのように収束するか？

主な発見

• 任意の $N$ に対して、確率が $N$ の指数的でない程度に近い場合、領域 $\Omega_N$ 内の固有値数は確率的ウェイリ法によって漸近的に与えられる。
• 任意の $\varepsilon > 0$ に対して、$P_N^\delta$ のほとんどすべての固有値が、曲線 $p(S^1)$ から $\mathcal{O}(N^{-1+\varepsilon})$ の範囲内にある。
• すべての $N \to \infty$ において、経験的スペクトル測度 $\xi_N$ は、高確率で弱収束して $\xi = p_*\left(\frac{1}{2\pi}L_{S^1}\right)$ に収束する。
• ほとんどすべての $z \in \mathbb{C}$ に対して、対数ポテンシャル $U_{\xi_N}(z)$ は高確率で $U_\xi(z)$ に収束する。これはスペクトル測度の収束を示唆する。
• 十分大きな $N$ に対して、$P_N^\delta$ の作用素ノルムは $\|p\|_{L^\infty(S^1)} + 1$ で有界である。
• 固有値分布は摂動に対して頑健である：確率的行列 $\delta Q_\omega$ は誤った固有値を抑制し、$p(S^1)$ 付近への固有値の集中を強制する。