[論文レビュー] Tools for working with multiplier Hopf algebras

Alphons Van Daele|ArXiv.org|Jun 12, 2008

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 6被引用数 28

ひとこと要約

本稿は、非単位的代数における乗算ヒープ代数の文脈で、非単位的代数上の加群を拡張するきめ細やかな枠組みを提示する。この枠組みでは、代数に単位元がない場合の加群拡張の一般化を可能にする、'完成加群' $\overline{X}$ と呼ばれる完成過程を用いる。主な貢献は、厳密位相を用いたこの完成の位相的特徴付けであり、特にスウィーデラの記法とコアクションの文脈において、連続性と拡張写像の一意性を保証する。

ABSTRACT

Let $(A,Δ)$ be a multiplier Hopf algebra. In general, the underlying algebra $A$ need not have an identity and the coproduct $Δ$ does not map $A$ into $A\otimes A$ but rather into its multiplier algebra $M(A\otimes A)$. In this paper, we study {\it some tools} that are frequently used when dealing with such multiplier Hopf algebras and that are typical for working with algebras without identity in this context. The {\it basic ingredient} is a unital left $A$-module $X$. And the basic construction is that of extending the module by looking at linear maps $ρ:A o X$ satisfying $ρ(aa')=aρ(a')$ where $a,a'\in A$. We write the module action as multiplication. Of course, when $x\in X$, and when $ρ(a)=ax$, we get such a linear map. And if $A$ has an identity, all linear maps $ρ$ have this form for $x=ρ(1)$. However, the point is that in the case of a non-unital algebra, the space of such maps is in general strictly bigger than $X$ itself. We get an {\it extended module}, denoted by $\bar X$ (for reasons that will be explained in the paper). We study all sorts of more complicated situations where such extended modules occur and we illustrate all of this with {\it several examples}, from very simple ones to more complex ones where iterated extensions come into play. We refer to cases that appear in the literature. We use this basic idea of extending modules to explain, in a more rigorous way, the so-called {\it covering technique}, which is needed when using {\it Sweedler notations} for coproducts and coactions. Again, we give many examples and refer to the existing literature where this technique is applied.

研究の動機と目的

• 乗算ヒープ代数を扱う際の技術的課題、特に基礎となる代数に単位元がない場合の課題に取り組む。
• スウィーデラの記法における'カバー'の概念を形式化し、非単位的状況下でのコプロダクトとコアクションの取り扱いに不可欠な役割を果たす。
• 加群からその完成版への線形写像の拡張を体系的に行う方法を開発し、連続性と一意性を保証する。
• 厳密位相を用いた完成加群構成の位相的基盤を提供し、代数的量子群理論におけるその有用性を正当化する。
• 文献で用いられる'カバー技法'を一般化・明確化し、特に双交叉構成と双対性理論において重要である。

提案手法

• 完成加群 $\overline{X}$ を、すべての $a, a' \in A$ に対して $\rho(aa') = a\rho(a')$ を満たす線形写像 $\rho: A \to X$ の空間として定義し、$X$ が $A$ に作用する一般化として定式化する。
• $\overline{X}$ に、$a \in A$ に対して $\|y\|_a = \|ay\|$ で定義される半ノルムによって定義される厳密位相を導入し、これにより局所有限凸位相空間とする。
• 厳密位相の下で $X$ が $\overline{X}$ に強く稠密であり、$\overline{X}$ が完備であることを証明し、これにより'完成'という用語の正当性を裏付ける。
• 変数が'カバーされている'という概念を導入する：線形写像 $F: X \to V$ が、すべての $x \in X$ に対して $F(ex) = F(x)$ を満たす $e \in A$ が存在するとき、$F$ はカバーされていると呼ぶ。
• カバーされた写像は、$F(y) = F(ey)$ で定義される、$\overline{X}$ 上の厳密連続写像に一意に拡張できることを示す。
• この枠組みを右加群および $A$-両側加群へ拡張し、左および右作用が連続になる最も弱い位相として厳密位相を定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非単位的代数 $A$ に対して、$A$ に単位元がない場合に、$A$ 上の加群 $X$ からより大きな加群 $\overline{X}$ へ線形写像をきめ細かく拡張する方法は何か？
• RQ2 $\overline{X}$ の完備性と連続性を保証する位相的構造は何か？ そして、元の加群 $X$ とどのように関係しているか？
• RQ3 非単位的状況下でスウィーデラの記法を一貫して使用できるようにする'カバーされた変数'の概念は、どのように機能するか？
• RQ4 特に双交叉構成のような複雑な構成において、繰り返しの拡張を施した $\overline{X}$ はどのように振る舞うか？
• RQ5 双対性およびコアクションの文脈において、$\overline{X}$ 上の厳密位相と拡張された線形汎関数の連続性の関係は何か？

主な発見

• 完成加群 $\overline{X}$ は厳密位相の下での $X$ の完成であり、完備であるため、拡張プロセスが適切に定義され、安定していることが保証される。
• $A$ が非単位的であるとき、$\overline{X}$ は $X$ を厳密に含むため、元の加群作用では到達できない新しい要素を捉えていることが示される。
• 線形写像 $F: X \to V$ が厳密連続であるための必要十分条件は、$F = F \circ \lambda_e$ を満たす $e \in A$ が存在すること、すなわち $F$ がカバーされていることである。ここで $\lambda_e(x) = ex$ である。
• 拡張写像 $F: \overline{X} \to V$ は、$F(y) = F(ey)$ で任意の $F$ をカバーする $e$ に対して一意に特徴付けられるため、拡張の一貫性と一意性が保証される。
• $A$-両側加群の場合、厳密位相は左および右作用が連続になる最も弱い位相であり、$X$ を両側加群として完成化したものは、その左および右完成化の共通部分集合に埋め込まれる。
• $\overline{X}$ の構成は自己反映的である：$\overline{X}$ に対して同じプロセスを適用しても新たな要素は得られず、これにより最大性と安定性が確認される。