[論文レビュー] Topics in Hidden Symmetries

Denis V. Juriev|ArXiv.org|May 9, 1994

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 23被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、リー代数 $σρ(2,\mathbb{C})$ をプロトタイプとして用い、表現論における逆問題を調査する。非可換半立方およびヴェロネーゼ写像を通じて「隠れた対称性」の概念を導入し、最高重み $h$ ごとに一意の自由隠れた対称性の二次代数を、ヴェルマ加群におけるテンソル作用素を通じて実現する。また、同型表現を備えた Lie-適応 $σρ(2,\mathbb{C})$-束を導入し、量子場理論における無限次元的対称性の枠組みを提供する。

ABSTRACT

These three topics are an attempt to explicate some curiosities of the inverse problem of representation theory (i.e. having a set of operators to describe the "correct" algebraic object, which is represented by them) on simple examples related to the Lie algebra sl(2,C). Such consideration maybe regarded as toy one for analogous infinite dimensional problems in the modern quantum field theory (conformal field theory, integrable models, field theory in non-trivial backgrounds). Some constructions inspired by these topics and related to infinite dimensional hidden symmetries, which are produced by vertex operator fields, will be discussed in the forthcoming article.

研究の動機と目的

• 表現論における逆問題—与えられた作用素の集合から元の代数的構造を再構成すること—を $σρ(2,\mathbb{C})$ をプロトタイプとして体系的に解くこと。
• 「隠れた対称性」を、ウェイル対称化に関して閉じた可換代数の $σρ$-部分加群として定義・特徴付けること。
• 非可換半立方写像を導入し、ヴェルマ加群におけるタイプ $π_2$ および $π_3$ のテンソル作用素に対して、隠れた対称性を自由化する新手法を提供すること。
• 第一種および第二種の Lie-適応 $σρ(2,\mathbb{C})$-束を定義し、ヴェルマ加群におけるその同型表現を研究すること。
• 特に頂点作用素場および W-代数を介して、量子場理論における無限次元的隠れた対称性を理解する基盤を築くこと。

提案手法

• 本稿では、可換代数 $\mathcal{A}$ の $σρ(2,\mathbb{C})$-部分加群としての隠れた対称性空間 $V$ を定義し、ウェイル対称化写像 $S^\cdot(V) \to \mathcal{A}$ が全射であると仮定する。
• 非可換半立方写像を、$i=2,3$ に対して $S^i(V_1) \to V_i$ の合成として定義する。ここで $V_1$ は $σρ(2,\mathbb{C})$-可約部分加群であり、$V = V_2 \oplus V_3$ である。
• 各 $h$ に対して一意の二次代数 $\mathfrak{A}_h$ を、ヴェルマ加群 $V_h \cong \mathbb{C}[z]$ 内のテンソル作用素 $D^k_i$ によって生成される自由隠れた対称性の代数として構成する。この生成子は特定の微分的実現を満たす。
• Lie-適応 $σρ(2,\mathbb{C})$-束は、$σρ(2,\mathbb{C})$-等変写像 $\mathfrak{g} \otimes T^2(W) \to W$ を通じて定義され、第一種および第二種の束に対して、それぞれ $[X,Y]_L$ および $X \circ_L Y$ の演算が $L$ に依存しない。
• 同型表現は、$σρ(2,\mathbb{C})$-等変写像 $T: W \to \operatorname{End}(H)$ として定義され、$\pi(L)$ および Lie-適応積を含む特定の作用素的恒等式を満たす。
• 微分的実現を用いてヴェルマ加群にこの枠組みを適用する：$L_{-1} = z$、$L_0 = z\partial_z + h$、$L_1 = z^2\partial_z^2 + 2h\partial_z$ であり、テンソル作用素 $D^k_i$ はこの基底で明示的に計算される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非可換半立方写像を用いて、$σρ(2,\mathbb{C})$ に対して、普遍的な自由隠れた対称性代数を特定することで、表現論の逆問題を体系的に解けるか？
• RQ2 非可換半立方写像は、ヴェルマ加群における半立方型の隠れた対称性を一意的かつ一貫的に実現する方法を提供するか？
• RQ3 第一種および第二種の二次的 Lie-適応 $σρ(2,\mathbb{C})$-束で、$\pi_2$ を座標基底とするものに、テンソル作用素 $D^2_i$ を用いた同型表現が存在するか？
• RQ4 Lie-適応代数の構造を用いて、コンformal field theory などの無限次元的設定における隠れた対称性をモデル化できるか？
• RQ5 ヴェルマ加群内のテンソル作用素 $D^k_i$ は、隠れた対称性代数に必要な代数的および表現論的性質をどのように実現するか？

主な発見

• 最高重み $h$ ごとに、一意の自由隠れた対称性の二次代数 $\mathfrak{A}_h$ が存在する。これは $S^\cdot(V)$ から $\mathcal{F}$ へのウェイル対称化写像の像として構成され、$V$ はテンソル作用素 $D^2_i$ および $D^3_i$ で張られる。
• 非可換半立方写像は、$S^i(V_1) \to V_i \to \mathcal{F}$ の合成として定義され、$\u03c3ρ(2,\mathbb{C})$-加群としての自然な同型 $S^\cdot(V_1) \to \mathfrak{A}_h$ を与える。
• ヴェルマ加群 $V_h \cong \mathbb{C}[z]$ 内のテンソル作用素 $D^k_i$ は、微分作用素として明示的に実現される：$D_{-2}^2 = z^2$、$D_{-1}^2 = z(\xi + h + 1/2)$、$D_0^2 = \xi^2 + 2h\xi + \dots$（$\xi = z\partial_z$）、かつ $\u03c3ρ(2,\mathbb{C})$-作用を満たす。
• $\pi_0 \oplus \pi_2$ は自然に第一種の Lie-適応 $\u03c3ρ(2,\mathbb{C})$-束の構造を持ち、$\pi_1$ および $\bigoplus_{i=0}^k \pi_{2i+1}$ は第二種の構造を持つ。
• Lie-適応 $\u03c3ρ(2,\mathbb{C})$-束の同型表現は、$\u03c3ρ(2,\mathbb{C})$-等変写像 $T: W \to \operatorname{End}(H)$ として定義され、第一種では $T([X,Y]_L) = T(X)\pi(L)T(Y) - T(Y)\pi(L)T(X)$、第二種では $T(X \circ_L Y) = \frac{1}{2}(T(X)\pi(L)T(Y) + T(Y)\pi(L)T(X))$ を満たす。
• この構成は、特に頂点作用素代数および W-代数に関連する、量子場理論における無限次元的隠れた対称性の玩具モデルを提供する。この構造は、共形場理論および可積分模型への応用の可能性を秘めている。