[論文レビュー] Topics in Koopman-von Neumann Theory

D. Mauro|ArXiv.org|Jan 30, 2003

Quantum Mechanics and Applications被引用数 72

ひとこと要約

この博士論文は、複素波動関数を用いたヒルベルト空間枠組みに厳密に埋め込まれた古典的力学のクーパマン＝ヴァン・ニューマン（KvN）形式を発展させ、量子力学に類似したユニタリ作用素的記述を可能にする。波動関数の位相が物理的に意味を持ち、一般化された観測可能量を介して測定可能であることを示し、古典理論における位相の役割に関する長年の曖昧さを解消する。さらに、グラスマン変数を用いた経路積分形式を構築し、超空間極限による量子化によって自然に標準的量子力学に還元される。

ABSTRACT

In this thesis we study several features of the operatorial approach to classical mechanics pionereed by Koopman and von Neumann (KvN) in the Thirties. In particular in the first part we study the role of the phases of the KvN states. We analyze, within the KvN theory, the two-slit experiment and the Aharonov-Bohm effect and we make a comparison between the classical and the quantum case. In the second part of the thesis we study the extension of the KvN formalism to the space of forms and Jacobi fields. We first show that all the standard Cartan calculus on symplectic spaces can be performed via Grassmann variables or via suitable combinations of Pauli matrices. Second we study the extended Hilbert space of KvN which now includes forms and prove that it is impossible to have at the same time a positive definite scalar product and a unitary evolution. Clear physical reasons for this phenomenon are exhibited. We conclude the thesis with some work in progress on the issue of quantization.

研究の動機と目的

• 複素波動関数を用いたヒルベルト空間形式に古典的力学を再定式化し、量子力学に類似したユニタリで作用素的記述を可能にする。
• KvN波動関数の位相が物理的に意味を持つのか、あるいは単なる数学的便宜に過ぎないのかという基礎的問題を解決する。
• KvN形式を微分形式やシンプレクティック構造などの幾何的構造へと拡張し、シンプレクティックおよびゲージ構造のより深い理解を可能にする。
• グラスマン変数とスーパーフィールドを用いた経路積分形式を構築し、超空間量子化手順によって量子力学への橋渡しを提供する。
• KvNヒルベルト空間におけるエルミート作用素の豊富な構造が、古典的および量子的力学の中間領域を記述する枠組みを提供できるかを調査する。

提案手法

• 位相空間上の可積分な複素関数 ψ(q,p) のヒルベルト空間を導入し、|ψ|² を古典的確率密度とする。
• 時間発展を支配する一次微分作用素を有するリウヴィル作用素を構築し、モジュラスと位相が独立に進化することを保証する。
• φ = (q,p) および ∂/∂φ に依存する一般化された観測可能量を導入し、超選択則を克服し、位相空間上のデルタ関数の重ね合わせを可能にする。
• スーパーフィールド Φ(q,θ,θ̄) の超空間上での関数的積分を用いた、グラスマン変数とスーパーフィールドを用いた経路積分形式を構築する。
• サロモンソン＝ヴァン・ホルテン、ゲージ、シンプレクティック構成による一般化された内積を定義し、物理的ヒルベルト空間を同定する。
• グラスマン変数 θ, θ̄ → 0 にすることによって量子化手順を実装し、標準的量子力学的経路積分を回復する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 クーパマン＝ヴァン・ニューマン波動関数における古典的位相は物理的に測定可能であるか？ もしそうなら、どのような観測可能量を介してか？
• RQ2 KvN理論における位相が確率密度の時間発展に影響を与えないのはなぜか？ その独立性に物理的意味はあるか？
• RQ3 KvN形式を微分形式やシンプレクティック幾何学などの幾何的構造へどのように拡張できるか？
• RQ4 グラスマン変数とスーパーフィールドを用いた古典的力学の経路積分形式を構築可能か？ そして、それが自然に量子力学に還元されるか？
• RQ5 KvNヒルベルト空間におけるエルミート作用素の巨大な代数的構造が、古典的・量子的力学のインターフェースにおける物理現象を記述する枠組みを提供できるか？

主な発見

• φ および ∂/∂φ に依存する観測可能量の導入により、もともとデルタ関数に制限されるヒルベルト空間の超選択則が解除され、複素重ね合わせと物理的位相が可能になる。
• リウヴィル作用素の一次性により、KvN波動関数の位相とモジュラスが独立に進化するため、位相が確率密度に動的に結合されていないことが示唆される。
• 一般化された観測可能量を介して古典的位相が測定可能であることが、KvN形式における二重スリット実験の古典的アナロジーによって実証された。
• グラスマン変数とスーパーフィールドを用いた経路積分形式により、混合表現における伝播関数のコンactな表現が得られ、部分的フーリエ変換の指数関数を含む。
• 量子化手順は、グラスマン変数 θ, θ̄ を 0 にすることによって実現され、これによりスーパーフィールド経路積分が標準的量子力学的経路積分に還元される。
• 得られた枠組みは、古典的力学と量子力学の自然な橋渡しを提供し、KvNヒルベルト空間が両者の間の中間領域を記述する可能性を秘めている。