[論文レビュー] Topics in Quantum Dynamics

Arkadiusz Jadczyk|arXiv (Cornell University)|Jun 30, 1994

Quantum Mechanics and Applications参考文献 8被引用数 14

ひとこと要約

本稿では、シュレーディンガー方程式による連続的ユニタリ発展とフォン・ノイマン＝リューデルス射影による確率的ジャンプ過程を統合することで、開系をピース Meal deterministic マルコフ過程としてモデル化する統一的フレームワークを提示する。主な結果として、量子系を古典的環境に結合した場合、特定の散乱的ダイナミクス（リウヴィル型作用素によって支配）に従うと、初期状態に依存せず、最大混合状態への指数的緩和が生じることを示している。

ABSTRACT

The paper consists of two parts. In the first part Schroedinger's equation for a charged quantum particle in a Galilei-Newton curved space-time is derived in a fully geometrical way. Gravitational and electromagnetic fields are coded into space metric and space-time connection. The fundamental geometrical object is a quantum connection in a Hermitian line bundle over the 7-dimensional jet space of 3-velocities. The secondary object is the bundle of Hilbert spaces over absolute time. Time appears as a superselection quantity while Shroedinger equation is interpreted as parallel transport in this bundle. In the second part the problem of measurement in quantum theory is discussed as a part of a more general problem of coupling between quantum and classical systems. The standard framework of quantum theory is extended so as to allow for dynamical central observables within dissipative dynamics. It is shown that within this approach one obtains not only Liouville equation that describes statistical ensembles, but also a piecewise-deterministic random process describing sequences of "events" that can be monitored by a continuous observation of the single, coupled classical system. It also describes "quantum jumps" or "wave packet reductions" that accompany these events. Two example are worked out in some details. The last one deals with the problem oof "how to determine the wave function ?".

研究の動機と目的

• 連続的ユニタリ発展と確率的波動関数崩壊を、一つのダイナミクス枠組み内で一貫して統合すること。
• シュレーディンガー発展とフォン・ノイマン＝リューデルス射影を統合するピース Meal deterministic ストキャスティック過程を用いて、開系をモデル化すること。
• 古典的環境に結合された量子系の有効ダイナミクスを分析すること、特に散乱的挙動に注目すること。
• マーカフジャンプ過程下での複合量子古典系に対するリウヴィル方程式を導出し、解くこと。
• このような系の長時間挙動が初期条件に依存せず、最大混合状態に収束することを示すこと。

提案手法

• 純粋状態を2次元球面 $S^2$ でパラメータ化する複合量子古典状態として系をモデル化し、密度行列 $\hat{\rho}$ と古典的状態 $\mathbf{n}_{cl}$ を用いる。
• 観測可能量を積層空間上の関数に写像するための全観測可能量関数 $f_{\mathbf{A}}(\mathbf{n}_q, \mathbf{n}_{cl}) = \mathrm{Tr}(e(\mathbf{n}_q) A(\mathbf{n}_{cl}))$ を定義する。
• ハミルトニアン発展 $X_H f$ と遷移確率 $p(\mathbf{n}, \mathbf{n}') = \frac{1 + \mathbf{n} \cdot \mathbf{n}'}{2}$ を含むジャンプ項の和として、リウヴィル作用素 $\mathcal{L}_{cq}$ を構築する。
• 量子ジャンプのタイミングをレート $\kappa/2$ のポアソン過程が支配し、ジャンプ確率は量子状態間の重なりによって与えられる。
• 量子状態 $\hat{\rho}(t)$ に対する有効リウヴィル方程式を導出し、解 $\hat{\rho}(t) = e^{-\kappa t/3} \rho(0) + \frac{1 - e^{-\kappa t/3}}{2} I$ を得る。これは $I/2$ への指数的減衰を示している。
• 散乱的効果を明確に分離するために、ハミルトニアンをゼロ（$\omega = 0$）とした場合に適用し、単純な最大混合状態への緩和を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 連続的ユニタリ発展と確率的波動関数崩壊を、一つのダイナミクス枠組み内で一貫して統合する方法は何か？
• RQ2 マーカフジャンプ過程下で、古典的環境に結合された量子系の長時間挙動はいかなるものか？
• RQ3 散乱的効果が存在する際、量子状態の有効ダイナミクスは初期状態にどのように依存するか？
• RQ4 遷移確率 $p(\mathbf{n}, \mathbf{n}') = \frac{1 + \mathbf{n} \cdot \mathbf{n}'}{2}$ は、系の確率的発展において果たす役割は何か？
• RQ5 複合量子古典系に対するリウヴィル方程式は明示的に解けるか？その解がデコherenceと緩和について何を明らかにするか？

主な発見

• ハミルトニアンをゼロとしたダイナミクス下での量子状態の有効リウヴィル作用素は $\mathcal{L}_{cq} \hat{\rho} = \frac{\kappa}{6}(I - 2\hat{\rho})$ であり、純粋な散乱的過程を記述している。
• リウヴィル方程式の解は $\hat{\rho}(t) = e^{-\kappa t/3} \rho(0) + \frac{1 - e^{-\kappa t/3}}{2} I$ であり、最大混合状態 $I/2$ への指数的収束を示している。
• 量子状態の長時間極限は初期状態 $\rho(0)$ に依存せず、散乱的結合のおかげで普遍的に $I/2$ に収束する。
• ジャンプ過程はレート $\kappa/2$ のポアソン過程で支配され、各ジャンプは量子状態を遷移確率 $p(\mathbf{n}, \mathbf{n}') = \frac{1 + \mathbf{n} \cdot \mathbf{n}'}{2}$ に従って再分配する。
• 古典的系の状態 $\mathbf{n}_{cl}$ は量子状態 $\mathbf{n}_q$ と連動して進化し、各量子ジャンプ後に $\mathbf{n}'_q(\mathbf{n}_q)$ にジャンプする。
• 結合系のダイナミクスは、ユニタリ発展と確率的ジャンプが交互に現れるピース Meal deterministic プロセスとして記述され、リウヴィル作用素が連続的および不連続的発展を両方捉え込んでいる。