[論文レビュー] Topics in Quantum Geometry of Riemann Surfaces: Two-Dimensional Quantum Gravity

Leon A. Takhtajan|ArXiv.org|Sep 15, 1994

Advanced Topics in Algebra参考文献 7被引用数 38

ひとこと要約

本稿は、リーマン面上の2次元量子重力に対して、リーマン面のリーマン・ロイブレヒト理論を用いた幾何的量子化フレームワークを構築する。特に、自己同型対称性、一様化、およびウェイ・ペテルソン幾何学の相関関係に焦点を当てる。相関関数がリーマン面のリーマン・ロイブレヒト理論の頂点演算子に従い、ウェイ・ペテルソン計量の曲率を符号化する普遍的な自己同型対称性のWard恒等式を満たすことが示され、量子重力とモジュライ空間幾何学との間の非摂動的関係が確立される。

ABSTRACT

Lectures given at International School of Physics ``Enrico Fermi'', Varenna, Villa Monastero, June 28-July 7 1994

研究の動機と目的

• リーマン面上のリーマン・ロイブレヒト理論に対する一貫性のある作用関数を定式化すること。これは、自己同型因子がグローバルに定義されない問題を克服することを目的とする。
• ポincare計量を臨界点として扱う2次元量子重力の関数的積分的アプローチを構築し、双曲幾何の量子化を可能にする。
• リーマン・ロイブレヒト理論の頂点演算子の相関関数に対する自己同型Ward恒等式（CWI）を導出し、それらをモジュライ空間上のウェイ・ペテルソン計量に関連付ける。
• シュットキー一様化を用いて、分岐点が有限および無限の位数を持つリーマン面および高 genus のリーマン面へとこのフレームワークを一般化する。
• リーマン・ロイブレヒト理論、物質およびゴースト系の総合的な中心的荷重が、任意の次元 D に対して自己同型異常をキャンセルし、モジュラー不変性を保つことを示す。

提案手法

• 球面上の拡大ディスクにおける極限による正則化作用関数（1.2）を用い、対数発散を差し引くことで、一貫したリーマン・ロイブレヒト作用関数を定義する。
• 自己同型計量上の関数的積分を用い、頂点演算子の挿入を伴う相関関数を経路積分（1.3）として定義し、生成関数として扱う。
• シュットキー一様化を用いて、高 genus のリーマン面上のグローバル座標を定義し、一貫性のあるリーマン・ロイブレヒト作用関数および射影的接続を構築する。
• 自己同型変換の下での作用の変動を分析することにより、自己同型Ward恒等式（CWI）を導出する。これには、シュワーツィアン導関数および複素構造の変形が用いられる。
• 古典的ストレステンソルとウェイ・ペテルソン計量との関係を用い、1ループの量子補正がヴォルパートの曲率公式を再現することを示す。
• ケーリー恒等式および複素解析の道具（例：グリーン関数、積分表現）を用いて、量子補正を計算し、Ward恒等式の一貫性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自己同型因子がグローバルに定義されないリーマン面上のリーマン・ロイブレヒト理論に対して、一貫性のある作用関数をどのように定式化できるか？
• RQ2 ポincare計量は量子理論において果たす役割は何か？ そして、その周囲のゆらぎは、表面の双曲幾何をどのように探査するか？
• RQ3 リーマン・ロイブレヒト理論の頂点演算子の相関関数は、モジュライ空間上のウェイ・ペテルソン計量に関するどのような幾何的情報を符号化しているか？
• RQ4 関数的積分から導かれた自己同型Ward恒等式を用いて、ウェイ・ペテルソン計量の曲率を非摂動的に再構成できるか？
• RQ5 物質およびゴースト系と組み合わせた量子理論の総合的中心的荷重は何か？ そして、自己同型異常はキャンセルされるか？

主な発見

• 球面上の正則化作用関数（1.2）は、グローバルに滑らかな解が存在しないにもかかわらず、well-defined であり、Euler-Lagrange 方程式としてリーマン・ロイブレヒト方程式を導く。
• 頂点演算子の相関関数に対する関数的積分（1.3）は、well-defined であり、リーマン面上の2次元量子重力の非摂動的定式化を提供する。
• 本稿で導出された自己同型Ward恒等式（CWI）は、4点関数の木レベルにおいて、ヴォルパートのウェイ・ペテルソン計量のリーマンテンソルの結果を再現する。
• ストレステンソルの1ループ量子補正は、ウェイ・ペテルソン幾何学と一貫しており、曲率は2次微分形式の内積によって決定される。
• リーマン・ロイブレヒト理論の中心的荷重は $ c_{\text{Liouv}} = \frac{12}{h} + 1 $ であり、物質（$ D $）およびゴースト（$ -26 $）と組み合わせると、任意の $ D $ に対して総合的異常がキャンセルされる。
• 幾何的頂点演算子の自己同型次元 $ \triangle_i = (1 - l_i^{-2})/2h $ は、量子化の過程でも不変であり、古典的幾何的データの安定性を示している。