[論文レビュー] Topics in the Value Distribution of Random Analytic Functions

Alon Nishry|arXiv (Cornell University)|Oct 28, 2013

Geometry and complex manifolds参考文献 15被引用数 4

ひとこと要約

本学位論文は、ランダムな解析関数の値分布を調査し、特にラダマッハ・テイラー級数とガウス型整関数に焦点を当てる。本研究では、ラダマッハ・フーリエ級数の対数的可積分性を確立し、カハーネの問題（ランダムなテイラー級数の値域に関する問題）を解決し、零点の扇形における等分布性を証明し、ガウス型整関数のホール確率の漸近挙動を、新しい係数レート関数を用いて完全に解明した。

ABSTRACT

This thesis is concerned with the behavior of random analytic functions. In particular, we are interested in the value distribution of Taylor series with independent random coefficients. We begin with a study of the properties of Fourier series with random signs. The main result states that the logarithm of such series is integrable (to any power). Using this result, we answer an old question of J.-P. Kahane, concerning the range of random Taylor series in the unit disk. In addition, we prove a law of large numbers for the number of zeros of entire functions given by Taylor series with random signs. Then we examine some 'rare' events related to the zero set of Gaussian entire functions (given by a Taylor series). In particular, we are interested in the 'hole' event, where the function has no zeros inside a large disk, centered at the origin. We give precise logarithmic asymptotics for the probability of this event, as the radius tends to infinite, depending on the variance of the coefficients of the series. It should be mentioned that our results do not assume any 'regularity' conditions.

研究の動機と目的

• 独立な係数を持つテイラー級数で定義されるランダムな解析関数の値分布を理解すること。
• 単位円板内におけるランダムなテイラー級数の値域に関するカハーネの長年の未解決問題を解明すること。
• ラダマッハ整関数の零点が角領域においてどのように等分布するかを特定すること。
• ガウス型整関数のホール確率の正確な対数的漸近挙動を特定すること。
• 係数の大きさに関する正則性や成長条件を仮定しない結果を確立すること。

提案手法

• lacunarなフーリエ級数のためのF. ナザロフの手法を用い、ラダマッハ・フーリエ級数の対数的可積分性を証明する。
• ツァラント型およびキンチン型の不等式を用いて、部分和の $ L^2 $-ノルムおよびそのシフトを制御する。
• 小スケールのシフトがほぼ線形に依存する関数を記述するための $ ext{Exp}_{ ext{loc}} $ 性質を導入する。
• スペクトル解析と近似スペクトル補題を用いて、$ L_{ ext{RF}}^2 $ 関数の構造を分析する。
• ガウス型テイラー級数において、ホール確率の減衰と係数の減衰レートの関係を測る新しい関数を開発する。
• 鞍点法を適用して、指数型母関数の係数の漸近挙動を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単位円板内におけるラダマッハ係数をもつランダムなテイラー級数の値域は何か？ そして、これはほとんど確実に全複素平面を覆うか？
• RQ2 半径 $ r $ の円板内におけるラダマッハ整関数の零点の数は半径とともにどのように増加するか？ また、その角分布は扇形において等分布しているか？
• RQ3 原点中心の大きな円板内に零点を持たないガウス型整関数の確率の正確な漸近的挙動は何か？
• RQ4 係数の正則的成長を仮定せず、例外集合を除くことなく、ホール確率の漸近挙動を特徴づけることは可能か？
• RQ5 ドメインが、非交差な複数の円板や細長い長方形などのような、円形でない領域の場合、ホール確率はどのように振る舞うか？

主な発見

• 任意のラダマッハ・フーリエ級数の対数は、任意のべき乗について可積分である。これは、以降の解析を可能にする重要な技術的結果である。
• 単位円板内におけるラダマッハ・テイラー級数の値域は、ほとんど確実に全複素平面を覆う。これはカハーネの問題を解決する。
• 半径 $ r $ の円板内におけるラダマッハ整関数の零点の数は $ r^2 $ のオーダーで増加し、角領域において等分布する。
• ガウス型整関数に対して、ホール確率は $ ext{Prob}( ext{no zeros in } rbD) = ext{Exp}(-S(r)(1+o(1))) $ と漸近的に減少する。ここで $ S(r) $ は係数の減衰レートに依存する関数である。
• 半径 $ r $ の円板におけるホール確率の漸近挙動は、係数の減衰とホール確率の減衰の相互作用を捉える新しい関数 $ S(r) $ によって完全に特徴づけられる。
• 2つの非交差な円板の和集合におけるホール確率は、漸近的に独立でない。これは、零点回避において強い空間的相関が存在することを示唆する。