[論文レビュー] Topological Analysis of Nerves, Reeb Spaces, Mappers, and Multiscale Mappers

Tamal K. Dey, Facundo Mémoli+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 21, 2017

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 12被引用数 16

ひとこと要約

本稿は、ドメイン $ X $ のパス連結被覆 $ \mathcal{U} $ に対する神経複体 $ N(\mathcal{U}) $ の1次ホモロジー群 $ H_1 $ が、$ H_1(X) $ 自身より多くの位相的情報を含むことはないことを確立することで、神経複体、リーブ空間、マッパー、マルチスケールマッパーの位相的解析を提供する。さらに、擬距離に基づくサイズ測度を用いて、$ X $ のどの $ H_1 $-類が神経複体に生き残るかを同定し、写像誘導距離を介してマッパーおよびマルチスケールマッパーにおける恒続ホモロジーの入れ子と収束に関する結果を拡張する。

ABSTRACT

Data analysis often concerns not only the space where data come from, but also various types of maps attached to data. In recent years, several related structures have been used to study maps on data, including Reeb spaces, mappers and multiscale mappers. The construction of these structures also relies on the so-called \emph{nerve} of a cover of the domain. In this paper, we aim to analyze the topological information encoded in these structures in order to provide better understanding of these structures and facilitate their practical usage. More specifically, we show that the one-dimensional homology of the nerve complex $N(\mathcal{U})$ of a path-connected cover $\mathcal{U}$ of a domain $X$ cannot be richer than that of the domain $X$ itself. Intuitively, this result means that no new $H_1$-homology class can be "created" under a natural map from $X$ to the nerve complex $N(\mathcal{U})$. Equipping $X$ with a pseudometric $d$, we further refine this result and characterize the classes of $H_1(X)$ that may survive in the nerve complex using the notion of \emph{size} of the covering elements in $\mathcal{U}$. These fundamental results about nerve complexes then lead to an analysis of the $H_1$-homology of Reeb spaces, mappers and multiscale mappers. The analysis of $H_1$-homology groups unfortunately does not extend to higher dimensions. Nevertheless, by using a map-induced metric, establishing a Gromov-Hausdorff convergence result between mappers and the domain, and interleaving relevant modules, we can still analyze the persistent homology groups of (multiscale) mappers to establish a connection to Reeb spaces.

研究の動機と目的

• 神経複体、リーブ空間、マッパー、マルチスケールマッパーに符号化された位相的情報を理解すること。
• ドメイン $ X $ の1次ホモロジー群とその神経複体 $ N(\mathcal{U}) $ の間の関係を、パス連結被覆 $ \mathcal{U} $ の下で分析すること。
• $ X $ の $ H_1 $-類が神経複体 $ N(\mathcal{U}) $ に生き残る条件を、$ X $ 上の擬距離を用いて同定すること。
• 写像誘導距離と入れ子理論を介して、マッパーおよびマルチスケールマッパーの恒続ホモロジーへの分析を拡張すること。
• マッパー複体と $ (X, d_f) $ の内在的 Čech フィルトレーションの間の Gromov-Hausdorff 収束および入れ子関係を確立すること。

提案手法

• ドメイン $ X $ のパス連結開被覆 $ \mathcal{U} $ から神経複体 $ N(\mathcal{U}) $ を構成する。
• 2点を結ぶすべての経路 $ \rho $ における $ f(\rho) $ の直径の下界として、$ X $ 上に擬距離 $ d_f $ を定義する。
• 自然な写像 $ X \to N(\mathcal{U}) $ を構築し、パス連結被覆に対して $ H_1(X) \to H_1(N(\mathcal{U})) $ が全射であることを示す。
• 被覆要素のサイズ測度を導入し、$ X $ のどの $ H_1 $-類が $ N(\mathcal{U}) $ に生き残るかを同定する。
• 被覆要素の直径に一様な制御を与えるために、$ (c,s) $-良い被覆の塔 $ \mathfrak{U} $ を定義する。
• 内在的 Čech フィルトレーションとマッパー構成を用いて、入れ子になった単体複体の塔を構築し、恒続ホモロジーにおける Gromov-Hausdorff 収束および入れ子関係を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 パス連結被覆 $ \mathcal{U} $ に対して、神経複体 $ N(\mathcal{U}) $ の1次ホモロジー群 $ H_1(N(\mathcal{U})) $ は、$ H_1(X) $ より多くの位相的情報を含むことができるか？
• RQ2 $ X $ のどの $ H_1 $-類が神経複体 $ N(\mathcal{U}) $ に生き残り、被覆要素のサイズを用いてどのように同定できるか？
• RQ3 写像誘導距離の下で、マルチスケールマッパーの恒続ホモロジーは、リーブ空間または内在的 Čech 複体に収束するか？
• RQ4 入れ子理論を用いて、マッパーの恒続ホモロジーと $ (X, d_f) $ の内在的 Čech フィルトレーションとの関係を確立できるか？
• RQ5 追加の位相的条件の下で、$ H_1 $-全射性の性質は、より高次元のホモロジー群へ一般化可能か？

主な発見

• ドメイン $ X $ の任意のパス連結開被覆 $ \mathcal{U} $ に対して、自然写像 $ H_1(X) \to H_1(N(\mathcal{U})) $ は全射であり、神経複体に新たな $ H_1 $-類が生成されることはない。
• $ X $ の $ H_1 $-類のうち、神経複体 $ N(\mathcal{U}) $ に生き残るものは、擬距離 $ d_f $ を用いた被覆要素のサイズ測度によって特徴付けられる。
• マルチスケールマッパー $ \mathrm{MM}(\mathfrak{U}, f) $ と $ (X, d_f) $ の内在的 Čech フィルトレーション $ \mathfrak{C}_s $ の恒続ホモロジーは、$ 2c $-乗法的に入れ子になっており、安定性と収束性を示している。
• マルチスケールマッパーと内在的 Čech フィルトレーションの対数スケールのパーシステンス図は、$ d_B(\mathrm{Dg}_{\log}\mathrm{MM}, \mathrm{Dg}_{\log}\mathfrak{C}_s) \leq 2c $ を満たし、それらの類似性に対する定量的評価を確立している。
• 写像誘導距離 $ d_f $ の下で、マッパー複体とドメイン $ X $ の間の Gromov-Hausdorff 収束が確立された。
• 本稿の $ H_1 $-結果は、反例によって示されるように、より高次元のホモロジー次元へは拡張されない。