[論文レビュー] Topological analysis of scalar fields with outliers

Mickaël Buchet, Frédéric Chazal+4 more|arXiv (Cornell University)|Dec 4, 2014

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 19被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、無限大に達する幾何的および機能的外れ値によって汚染されたスカラー場のための頑健なトポロジカルデータ解析手法を提案する。k近傍法に基づく機能的スムージングと、測度への距離を用いた幾何的フィルタリングを組み合わせることで、わずかなサンプリング条件下でも真の図と理論的に近いパーシステンス図が得られることが保証される。任意の機能的誤差が存在する場合でも成立する。

ABSTRACT

Given a real-valued function $f$ defined over a manifold $M$ embedded in $\mathbb{R}^d$, we are interested in recovering structural information about $f$ from the sole information of its values on a finite sample $P$. Existing methods provide approximation to the persistence diagram of $f$ when geometric noise and functional noise are bounded. However, they fail in the presence of aberrant values, also called outliers, both in theory and practice. We propose a new algorithm that deals with outliers. We handle aberrant functional values with a method inspired from the k-nearest neighbors regression and the local median filtering, while the geometric outliers are handled using the distance to a measure. Combined with topological results on nested filtrations, our algorithm performs robust topological analysis of scalar fields in a wider range of noise models than handled by current methods. We provide theoretical guarantees and experimental results on the quality of our approximation of the sampled scalar field.

研究の動機と目的

• スカラー場のサンプリングに機能的および幾何的外れ値が存在する場合に、従来のトポロジカルデータ解析手法が失敗することへの対処。
• 任意の関数的外れ値および幾何的外れ値を含む無限大のノイズモデル下でも、パーシステンス図近似に対する理論的保証の提供。
• 幾何的ノイズと機能的ノイズを別々のフィルタリングおよび推定手法で分離して処理する統一フレームワークの構築。
• 有界ノイズ仮定を超えて、実世界のセンサデータにおける故障測定値を伴う状況でも頑健な推論を可能にする、トポロジカルデータ解析の適用範囲の拡張。

提案手法

• 本手法は、k近傍法回帰に基づく新しい推定量 $\hat{f}$ を導入し、中央値ベースまたは乖離度ベースのスムージングを用いることで、関数的外れ値に対して頑健であるように修正する。
• 幾何的外れ値は、測度への距離関数を用いて同定・除去する。この関数は、基礎となる多様体 $\mathsf{M}$ から遠く離れた点を特定する。
• アルゴリズムは二段階のプロセスを適用する：まず測度への距離に基づいて点をフィルタリングし、次にフィルタリング済み集合上で頑健な回帰を用いて関数値を再推定する。
• パーシステンス図は、フィルタリングおよびスムージング済み点集合に対するリプスフィルターションから計算される。理論的連結境界は、ネストされたフィルターションを介して導出される。
• 連結理論を用いて理論的保証を確立し、結果として得られるパーシステンスモジュールが、真のパーシステンスモジュールと $\left(\frac{4}{3}\frac{c\rho_{\mathsf{M}}\delta'}{\rho_{\mathsf{M}}-(\eta+{\varepsilon})} + \xi s\right)$-連結していることを示す。
• 一般化されたサンプリング条件の下で、幾何的および機能的ノイズの相互依存をモデル化し、それらを別々に処理するフレームワークが設計されている。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 関数的外れ値が無限大に達する場合、すなわち観測関数値が真の値から任意に離れている場合でも、トポロジカルデータ解析を頑健にできるか？
• RQ2 基礎となる多様体の事前知識が得られない状況でも、位置が誤った幾何的外れ値を効果的にフィルタリングできるか？
• RQ3 有界ノイズ仮定を超える一般化されたサンプリング条件下で、真のパーシステンス図の近似を理論的に保証できるか？
• RQ4 幾何的ノイズと機能的ノイズを、両者を同時に含む状況下でも、トポロジカル構造を保持する形で分離処理できるか？

主な発見

• 提案手法は、真のパーシステンスモジュールと計算されたモジュールとの間で理論的連結境界を達成し、境界は $\left(\frac{4}{3}\frac{c\rho_{\mathsf{M}}\delta'}{\rho_{\mathsf{M}}-(\eta+{\varepsilon})} + \xi s\right)$ である。ここで $\xi = 1$ はk中央値、$\xi = \left(1+2\sqrt{\frac{k-k'}{2k'-k}}\right)$ は乖離度推定の場合である。
• 従来の有界ノイズ手法では対応できない、任意に大きな誤差を持つ関数的外れ値を効果的に処理できる。
• 有界ハウスドルフ距離、有界関数誤差、有界ワルシャワ距離を特別なケースとして含む、一般化されたサンプリング条件の下で理論的保証が確立されている。
• 実験的結果により、重度のノイズ下でも真のパーシステンス図の高品質な近似が得られ、外れ値が存在する状況で標準的手法を上回ることが示された。
• 相互に依存するノイズに対しても頑健である：幾何的外れ値が原因で生じる関数的外れ値は、関数的スムージングの前に測度への距離フィルタで処理される。