[論文レビュー] Topological and uniform structures on universal covering spaces

N. Brodskiy, Jerzy Dydak+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 1, 2012

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 20被引用数 15

ひとこと要約

本稿では、普遍被覆空間上の均一構造と位相的構造を導入し、比較する。特に、ワイスカー、ロープ、Berestovskii-Plaut の均一構造に注目する。ロープ均一構造が基本群を位相群にすることが示され、また、均一的に局所的パス接続な均一空間に対しては、ジャイムズ均一構造とロープ均一構造が普遍被覆上では一致することを証明する。

ABSTRACT

We discuss various uniform structures and topologies on the universal covering space $\widetilde X$ and on the fundamental group $π_1(X,x_0)$. We introduce a canonical uniform structure $CU(X)$ on a topological space $X$ and use it to relate topologies on $\widetilde X$ and uniform structures on $\widetilde{CU(X)}$. Using our concept of universal Peano space we show connections between the topology introduced by Spanier and a uniform structure of Berestovskii and Plaut. We give a sufficient and necessary condition for Berestovskii-Plaut structure to be identical with the one generated by the uniform convergence structure on the space of paths in $X$. We also describe when the topology of Spanier is identical with the quotient of the compact-open topology on the space of paths.

研究の動機と目的

• 任意の位相空間 X に対して、均一的および位相的被覆空間のアプローチを統合する標準的な均一構造 CU(X) を確立すること。
• 普遍被覆空間 𝔛 上のワイスカー位相が、パス空間上のコンパクト開位相の商位相と一致する条件を調査すること。
• Berestovskii-Plaut の均一構造が、パス収束によって誘導される均一構造と一致する条件を特定すること。
• 任意の空間に対する問題を局所的パス接続空間への還元に用いるための道具として、普遍のペアノ空間 P(X) を定義し、それを活用すること。
• ロープ均一構造が基本群 π₁(X,x₀) を位相群にする条件を特定すること。

提案手法

• 普遍被覆上の位相的および均一的構造を関連付けるために、位相空間 X に標準的な均一構造 CU(X) を導入する。
• X の普遍的局所的パス接続なリファインメントとして、普遍のペアノ空間 P(X) を定義し、局所的パス接続空間から一般の空間への結果の移行を可能にする。
• U-ワイスカーによる基底を用いてワイスカー位相を特徴付け、パス空間上のコンパクト開位相の商位相と関連付ける。
• 𝔛 上に3つの均一構造を定義する：ジャイムズ（コンパクト開位相の商）、Berestovskii-Plaut（均一空間内の鎖を通じて）、ロープ（E-ロープを通じて）。
• E-穿孔ホモトピーと E-ロープを用いてロープ均一構造における近接性を定義し、それらをパスホモトピー類と関連付ける。
• パスの上への持ち上げとホモトピーの均一的制御を用いて、𝔛_l と 𝔛_P(X)_J 間の均一同相写像を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 普遍被覆空間 𝔛 上のワイスカー位相が、基点付きパス空間上のコンパクト開位相の商位相と同一であるのはいつか？
• RQ2 Berestovskii-Plaut の均一構造が、パスの収束によって誘導される均一構造と一致するのはいつか？
• RQ3 ロープ均一構造が 𝔛 上でジャイムズ均一構造と同値となる条件は何か？
• RQ4 ロープ均一構造が π₁(X,x₀) 上で基本群を位相群にする条件は何か？
• RQ5 普遍のペアノ空間 P(X) は、局所的パス接続空間から一般の空間への結果の移行をどのように可能にするか？

主な発見

• ワイスカー位相が 𝔛 上でコンパクト開位相の商位相と一致するのは、X が小さなループ移動空間であるとき、かつそのときに限る。
• ロープ均一構造により、π₁(X,x₀) が位相群になることが、逆元と乗法の連続性の直接的検証によって示された。
• 任意の連結で均一的に局所的パス接続な均一空間 X に対して、𝔛 上のジャイムズ均一構造とロープ均一構造は一致する。
• Berestovskii-Plaut の均一構造がパス収束によって誘導される均一構造と一致するのは、X が均一的な小さなループ移動空間であるとき、かつそのときに限る。
• 𝔛 と 𝔛_P(X) 間の自然な同一視は、𝔛 上のロープ均一構造と 𝔛_P(X) 上のジャイムズ均一構造の間の均一同相写像を誘導する。
• 普遍のペアノ空間 P(X) は、パスとホモトピーの持ち上げを標準的に可能にし、一般の被覆空間問題を局所的パス接続の場合に還元可能にする。