[論文レビュー] Topological aspects of completely integrable foliations

S. Pinheiro, Helena Reis|arXiv (Cornell University)|Sep 13, 2012

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 20被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、$(\mathbb{C}^3,0)$ 上の曲線に沿ったfoliationに対して、2つの独立な正則第一積分の存在が位相的不変量でないことを示している。2つの位相的に同値なfoliationの例を提示し、そのうち一方でのみこのような積分が存在する。障害は、その上に無限個の分離子をもつdicritical不変曲面が存在することに起因し、完全積分可能性における位相的不変性の失敗の中心的要因となっている。

ABSTRACT

In this paper it is shown that the existence of two independent holomorphic first integrals for foliations by curves on (C^3,0) is not a topological invariant. More precisely, we provide an example of two topologically equivalent foliations such that only one of them admits two independent holomorphic first integrals. The existence of invariant surfaces over which the induced foliation possesses infinitely many separatrices possibly constitutes the sole obstruction for the topological invariance of complete integrability and a characterization of foliations admitting this type of invariant surfaces is also given.

研究の動機と目的

• $(\mathbb{C}^3,0)$ 上のfoliationに対して、2つの独立な正則第一積分の存在が位相的不変量であるかどうかを調査すること。
• 完全積分可能性の位相的不変性を阻害する幾何学的・力学的障害を同定すること。
• 誘導されたfoliationが無限個の分離子をもつ（すなわち、dicriticalである）不変曲面を特徴づけること。
• $n=2$ の場合に成り立つMattei-Moussuの定理を、$n=3$ における正確な障害を特定することで高次元に拡張すること。

提案手法

• 特定の正則ベクトル場を用いて、異なる第一積分の性質をもつ$(\mathbb{C}^3,0)$ 上のfoliation $\mathcal{F}$ と $\mathcal{D}$ を構成する。
• 葉を保存するホメオモールフィズムを構築することで、$\mathcal{F}$ と $\mathcal{D}$ の位相的同値性を証明する。
• foliationを不変平面 $\{z=0\}$ に制限し、それらがSuzukiのfoliationと一致することを示す。これらはすでに有理型第一積分をもつことが知られている。
• Ramis-Sibuya定理を用いて、形式的分離子に漸近する解析的分離子の存在を確立し、収束性と位相的構造との関連を結ぶ。
• 特異点におけるホロノミー写像と固有値の比を分析し、完全積分可能性下での周期性と有理数条件を導出する。
• Baum-Bott指数公式を適用し、dicritical不変曲面が存在しないと仮定すると矛盾が生じることを示し、それらの必要性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $(\mathbb{C}^3,0)$ 上のfoliationに対して、2つの独立な正則第一積分の存在は位相的不変量か？
• RQ2 3次元正則foliationにおける完全積分可能性の位相的不変性を阻害する幾何学的または力学的特徴は何か？
• RQ3 無限個の分離子をもつ不変曲面（dicritical曲面）の存在を特徴づけ、それが位相的不変性の失敗とどのように関連するか？
• RQ4 Conjecture 1.2が示唆するように、このようなdicritical曲面が存在しないと、完全積分可能性の位相的不変性が成立するか？
• RQ5 特異点における固有値の比とホロノミー写像は、foliationの積分可能性および位相的構造とどのように関係するか？

主な発見

• $\mathcal{F}$ と $\mathcal{D}$ は、特定のベクトル場によって定義されるが、位相的に同値である一方、2つの独立な正則第一積分をもつのは $\mathcal{F}$ のみである。
• 誘導されたfoliationが無限個の分離子をもつ（すなわち、dicriticalである）不変曲面の存在が、完全積分可能性の位相的不変性を阻害する主な障害である。
• dicritical不変曲面が存在しないと仮定すると、Baum-Bott指数公式により矛盾が生じる。これは、指数の和が理論的な上限を超えることによる。
• 例外的除算上の特異点における線形化foliationの固有値は、$\lambda_1/\lambda_2, \lambda_1/\lambda_3 \in \mathbb{Q}^*$ を満たし、完全積分可能性下ではホロノミーが周期的であることを示唆する。
• 例外的除算 $E$ 上の誘導されたfoliation $\widetilde{\mathcal{F}}_E$ のすべての特異点はdicriticalであり、無限個の分離子をもつため、Baum-Bott指数は $\geq 4$ である。
• $\widetilde{\mathcal{F}}_E$ のすべての特異点におけるBaum-Bott指数の和は、少なくとも $4(k^2 + k + 1)$ であるが、Baum-Bott定理により、それはちょうど $(k+2)^2$ でなければならない。したがって、dicritical曲面が存在しないと仮定すると矛盾が生じる。