[論文レビュー] Topological charge conservation for continuous insulators

Guillaume Bal|arXiv (Cornell University)|Jun 15, 2021

Topological Materials and Phenomena被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、ハミルトニアンにドメインウォールを追加して拡張したもののFredholm指数を用いて、ユークリッド空間内における連続的トポロジカルインスレーターおよびスーパーコンダクターのトポロジカル電荷保存則を確立する。この指数が量子化された線形電導度に等しくなることを証明し、2次元のバルク-エッジ対応を高次元へ一般化するとともに、Fedosov-Hörmanderの公式とクリフォード代数の分解を用いた計算可能な手法を提供する。

ABSTRACT

This paper proposes a classification of elliptic (pseudo-)differential Hamiltonians describing topological insulators and superconductors in Euclidean space by means of domain walls. Augmenting a given Hamiltonian by one or several domain walls results in confinement that naturally yields a Fredholm operator, whose index is taken as the topological charge of the system. A Fedosov-Hörmander formula implementing in Euclidean spaces an Atiyah-Singer index theorem allows for an explicit computation of the index in terms of the symbol of the Fredholm operator. For Hamiltonians admitting an appropriate decomposition in a Clifford algebra, the index is given by the easily computable degree of a naturally associated map. A practically important property of topological insulators is the asymmetric transport observed along one-dimensional lines generated by the domain walls. This asymmetry is captured by a line conductivity, a physical observable of the system. We prove that the line conductivity is quantized and given by the index of a second Fredholm operator of Toeplitz type. We also prove a topological charge conservation stating that the two aforementioned indices agree. This result generalizes to higher dimensions and higher-order topological insulators the bulk-edge correspondence of two-dimensional materials. We apply this procedure to evaluate the topological charge of several classical examples of (standard and higher-order) topological insulators and superconductors in one, two, and three spatial dimensions.

研究の動機と目的

• ユークリッド空間内におけるトポロジカルインスレーターおよびスーパーコンダクターを記述する楕円型擬微分ハミルトニアンを、ドメインウォールを用いて分類すること。
• ハミルトニアンにドメインウォールを追加して構築した束縛作用素のFredholm指数として、系のトポロジカル電荷を定義すること。
• バルクのトポロジカル不変量（Fredholm指数）と物理的観測量たる線形電導度を結ぶトポロジカル電荷保存則を確立すること。
• 2次元のバルク-エッジ対応を高次元および高次位のトポロジカルインスレーターへ一般化すること。
• Fedosov-Hörmanderの指数定理とクリフォード代数構造を用いて、明示的かつ計算可能なトポロジカル電荷の公式を提供すること。

提案手法

• 最終的な空間次元にドメインウォールを追加することで、$ F = H_{d-1} - i m(x_d) $ と定義されるFredholm作用素を構築し、楕円性および無限遠での適切な成長を保証する。
• Fredosov-Hörmanderの公式を用いて、$ F $ のFredholm指数を計算し、これがトポロジカル電荷を定義する。この計算はハミルトニアンのシンボルに基づく。
• ハミルトニアンがクリフォード代数構造を持つ場合、シンボルから導かれる写像の次数として指数を計算することで、効率的な計算が可能になる。
• 1次元的界面に沿った非対称輸送という物理的観測量を捉えるために、2番目のToeplitz型のFredholm作用素を定義する。
• Toeplitz作用素の指数（線形電導度）が、束縛Fredholm作用素の指数（トポロジカル電荷）に等しいことを証明し、トポロジカル電荷保存則を確立する。
• 1次元、2次元、3次元の古典的例にこのフレームワークを適用し、高次位のトポロジカルインスレーターおよび平坦バンドやランダウ準位をもつ正則化モデルを含む。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の空間次元において、連続的トポロジカルインスレーターのトポロジカル電荷を体系的に定義・計算する方法は何か？
• RQ2 バルクのトポロジカル不変量（束縛作用素のFredholm指数）と物理的観測量たる線形電導度との関係は何か？
• RQ3 バルク-エッジ対応は、どの程度高次元および高次位のトポロジカルインスレーターへ一般化可能か？
• RQ4 トポロジカル電荷保存則が破綻する条件は何か。また、そのようなモデルをフレームワークに適合させるために正則化は可能か？
• RQ5 ハミルトニアンがクリフォード代数分解をもつ場合、幾何的不変量（写像の次数）を用いてトポロジカル電荷を効率的に計算できるか？

主な発見

• ハミルトニアンのトポロジカル電荷は、元のハミルトニアンにドメインウォールを追加して構築した束縛作用素 $ F = H_{d-1} - i m(x_d) $ のFredholm指数として定義される。
• 1次元的界面に沿った非対称輸送という物理的観測量たる線形電導度は量子化されており、2番目のToeplitz型のFredholm作用素の指数に等しい。
• 主たる結果はトポロジカル電荷保存則である。2つの指数、すなわちバルクのトポロジカル不変量と線形電導度が完全に一致し、2次元のバルク-エッジ対応を高次元へ一般化する。
• ハミルトニアンがクリフォード代数構造を持つ場合、トポロジカル電荷はシンボルから導かれる写像の次数として与えられ、簡単かつ明示的な計算が可能になる。
• 本手法は、1次元、2次元、3次元における標準的および高次位のトポロジカルインスレーターおよびスーパーコンダクターに適用可能であり、正則化後の平坦バンドをもつモデルを含む。
• 本理論は、ランダウ準位や平坦バンド（例：浅水域波動ハミルトニアン）のような本質的スペクトルの縮退を示すモデルには適用できないが、正則化されたバージョンはフレームワークに適合可能である。