[論文レビュー] Topological complexity of collision free motion planning algorithms in the presence of multiple moving obstacles

Michael Färber, Mark Grant+1 more|ArXiv.org|Sep 17, 2006

Topological and Geometric Data Analysis参考文献 10被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、複数の移動障害物を避けるn個の物体がR³で移動する際の運動計画アルゴリズムの位相的複雑度を計算し、nに比例して複雑度が線形に増加すること（m ≥ 2の障害物に対して2n+1）を示している。障害物の数に依存せず、障害物の軌道が事前に分かっている限り、位相的複雑度は変化しない。コhomologyとシュバルツ位相的生成数理論を用い、ゼロ・ディバイザー・カップ長と多面体的セル構造を通じて、下界と上界を厳密に特定。これにより、障害物が動いていても、その軌道が事前に分かっていれば、位相的複雑度が変化しないことが明らかになった。

ABSTRACT

We study motion planning algorithms for collision free control of multiple objects in the presence of moving obstacles. We compute the topological complexity of algorithms solving this problem. We apply topological tools and use information about cohomology algebras of configuration spaces. The results of the paper may potentially be used in systems of automatic traffic control.

研究の動機と目的

• n個の物体がR³を移動し、事前に分かっている軌道に従って移動する複数の障害物を避ける運動計画アルゴリズムの位相的複雑度を特定すること。
• 移動障害物の存在が、衝突回避の運動計画における位相的複雑度に与える影響を分析すること。
• コhomological不変量とホモトピー論を用いて、位相的複雑度の厳密な下界と上界を確立すること。
• 移動障害物を含む問題と、静止障害物または一点障害物を含む問題との複雑度を比較すること。
• 運動の軌道が事前に分かっている条件下で、位相的複雑度が主に物体の数に依存し、障害物の数に依存しないことを示すこと。

提案手法

• 配置空間X上の運動計画アルゴリズムを構成するための局所連続ルールの最小数として定義される位相的複雑度不変量TC(X)を用いる。
• 配置空間F(R³−Sₘ,n)のコhomology代数を用いたゼロ・ディバイザー・カップ長法を適用。ここでSₘは移動障害物の軌道の集合である。
• シュバルツ位相的生成数理論とファイバー空間の生成数の概念を用い、H*(X;Z)における非自明な積を用いてTCの下界を評価する。
• F(R³−Sₘ,n)が1連結であり、H*(F(R³−Sₘ,n);Z)の基底に対応するセルを持つCW複体とホモトピー同値であることを確立。これにより、次元に基づく推定を通じて上界を導出可能となる。
• F(R³−Sₘ,n)がR³ⁿにおけるcodimension-3のアフィン部分空間の補集合とホモトピー同値であることを用い、連結性の議論に直交性を応用可能となる。
• 代数的位相幾何学の結果、特に定理4.4（コhomology基底に関する）と[2]の系5.3を応用し、多面体次元に基づいた上界を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 m個の移動障害物の軌道が事前に分かっているとき、R³でn個の物体がそれらを避ける運動計画の位相的複雑度は何か？
• RQ2 移動障害物の数が運動計画問題の位相的複雑度にどのように影響するか？
• RQ3 移動障害物を避ける系の位相的複雑度は、静止障害物を避ける系や一点障害物を避ける系と同等か？
• RQ4 ゼロ・ディバイザー・カップ長のようなコhomological不変量は、移動障害物を含む配置空間のTCに対して厳密な境界を与えることができるか？
• RQ5 位相的複雑度は、障害物の数に関係なく、物体の数に比例して線形に増加するか？

主な発見

• m ≥ 2の移動障害物を避けるn個の物体の運動計画の位相的複雑度は、TC(F(R³−Sₘ,n)) = 2n+1 である。
• m = 1の障害物の場合、複雑度はTC(F(R³−Sₘ,n)) = 2n であり、m = 0（障害物なし）の場合は2n−1である。
• m ≥ 2のとき、複雑度は障害物の数mに依存せず、nにのみ線形に増加する。
• 配置空間F(R³−Sₘ,n)は1連結であり、m ≥ 1のとき、CW複体とホモトピー同値で、次元は2nである。
• 下界2n+1は、コhomology代数における長さ2nの非自明な積、具体的には ∏(i=1 to n, j=n+1,n+2) (ēᵢⱼ)² ≠ 0 を用いて確立された。
• 驚くべきことに、複数の移動障害物を避ける場合の複雑度（2n+1）は、R³における一点障害物を避ける場合の複雑度（同様に2n+1）と同一である。直観的には複雑度が増加するが、位相的性質としては同一である。