[論文レビュー] Topological conjugacy of topological Markov shifts and Ruelle algebras

Kengo Matsumoto|arXiv (Cornell University)|Jun 22, 2017

Advanced Operator Algebra Research参考文献 7被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、非周期的かつ非置換行列である不可約な行列によって定義される二方向の位相的マルコフ移動の位相的同相性について、その完全不変量として、標準的なトーラス作用と可換部分代数 $C(\bar{X}_A)$ を備えた拡張ルーヴェ C*-代数 $\widetilde{\mathcal{R}}_A$ が成立することを確立している。主な結果は、逆温度 $\log \beta$ におけるKMS状態が、$\beta$ をペロン＝フロベニウス固有値とするとき、シフト空間上のパリ測度を一意に拡張することであり、$\widetilde{\mathcal{R}}_A$ のK理論を通じて計算可能な不変量を提供する。漸近的ルーヴェ代数 $\mathcal{R}_A$ とその円周作用も同相性を特徴付けるが、拡張版はより強く完全な不変量を提供する。

ABSTRACT

We will characterize topologically conjugate two-sided topological Markov shifts $(\bar{X}_A,\barσ_A)$ in terms of the associated asymptotic Ruelle $C^*$-algebras ${\mathcal{R}}_A$ with its commutative $C^*$-subalgebras $C(\bar{X}_A)$ and the canonical circle actions. We will also show that extended Ruelle algebras ${\widetilde{\mathcal{R}}}_A$, which are purely infinite version of the asymptotic Ruelle algebras, with its commutative $C^*$-subalgebras $C(\bar{X}_A)$ and the canonical torus actions $γ^A$ are complete invariants for topological conjugacy of two-sided topological Markov shifts. We then have a computable topological conjugacy invariant, written in terms of the underlying matrix, of a two-sided topological Markov shift by using K-theory of the extended Ruelle algebra. The diagonal action of $γ^A$ has a unique KMS-state on ${\widetilde{\mathcal{R}}}_A$, which is an extension of the Parry measure on $\bar{X}_A$.

研究の動機と目的

• 二方向の位相的マルコフ移動の位相的同相性を C*-代数的不変量を用いて特徴付けること。
• 標準的なトーラス作用と可換部分代数 $C(\bar{X}_A)$ を備えた拡張ルーヴェ代数 $\widetilde{\mathcal{R}}_A$ が、位相的同相性の完全不変量であることを示すこと。
• 元の行列 $A$ から導かれる $\widetilde{\mathcal{R}}_A$ のK理論を用いて、位相的同相性の計算可能な不変量を確立すること。
• 逆温度 $\log \beta$ における $\widetilde{\mathcal{R}}_A$ 上の唯一のKMS状態が、$\beta$ を $A$ のペロン＝フロベニウス固有値とするとき、$\bar{X}_A$ 上のパリ測度に制限されることを証明すること。

提案手法

• 本稿は、漸近的エタール群体 $G_A^a \rtimes \mathbb{Z}$ の群体 C*-代数として漸近的ルーヴェ代数 $\mathcal{R}_A$ を構成し、シフトの漸近的力学を捉える。
• この構成を、安定および不安定な同値関係を組み込んだ $\widetilde{\mathcal{R}}_A = C^*(G_A^{s,u} \rtimes \mathbb{Z}^2)$ に拡張し、ユニタリで純粋無限な C*-代数に、標準的なトーラス作用 $\gamma^A$ を備える。
• 代数 $\mathcal{R}_A$ 上の標準的円周作用 $\rho^A_t$ と $\widetilde{\mathcal{R}}_A$ 上のトーラス作用 $\gamma^A$ を用いて、シフト系を分類する動的不変量を定義する。
• 行列 $A$ に対するペロン＝フロベニウス固有ベクトル理論を用いて、遷移確率 $p_n(i,j)$ の漸近的公式を導出し、$\frac{1}{\beta^{n+1}} b_i a_j$ のようにスケーリングされることを示す。ここで $a_j, b_i$ はそれぞれ $A$ と $A^t$ の正規化されたペロン＝フロベニウス固有ベクトルである。
• 逆温度 $\log \gamma$ における $\widetilde{\mathcal{R}}_A$ 上のKMS状態が存在し、かつ一意であるための必要十分条件が $\gamma = \beta$、すなわち $A$ のペロン＝フロベニウス固有値に一致することを証明する。
• このKMS状態を $C(\bar{X}_A)$ に制限したものが、$\bar{X}_A$ 上のパリ測度と一致することを示し、エルゴディック理論とC*-動的系の間の深い関係を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 二方向の位相的マルコフ移動の位相的同相性は、C*-代数的不変量によって完全に特徴付けられるか？
• RQ2 標準的なトーラス作用を備えた拡張ルーヴェ代数 $\widetilde{\mathcal{R}}_A$ は、このようなシフトの位相的同相性の完全不変量か？
• RQ3 逆温度 $\log \beta$ における $\widetilde{\mathcal{R}}_A$ 上のKMS状態は、$\bar{X}_A$ 上のパリ測度を一意に拡張するか？
• RQ4 $\widetilde{\mathcal{R}}_A$ のK理論は、行列 $A$ の言いかげて、計算可能な位相的同相性不変量を提供できるか？
• RQ5 ペロン＝フロベニウス固有値 $\beta$ と $\widetilde{\mathcal{R}}_A$ 上のKMS状態の存在および一意性との正確な関係は何か？

主な発見

• 不可約で非周期的かつ非置換行列である行列によって定義される二方向の位相的マルコフ移動の位相的同相性について、標準的なトーラス作用 $\gamma^A$ と可換部分代数 $C(\bar{X}_A)$ を備えた拡張ルーヴェ代数 $\widetilde{\mathcal{R}}_A$ が完全不変量を形成する。
• $\widetilde{\mathcal{R}}_A$ 上の作用 $\delta^A$ に対するKMS状態が存在するのは、逆温度が $\log \beta$ である場合に限られ、このとき状態は一意である。
• 唯一のKMS状態を $C(\bar{X}_A)$ に制限したものは、$\bar{X}_A$ 上のパリ測度と一致し、エルゴディック理論とC*-動的系の間の深いつながりを確立する。
• シフト空間内での状態 $i$ と $j$ 間の漸近的遷移確率 $p_n(i,j)$ は、$p_n(i,j) = \frac{1}{\beta^{n+1}} b_i a_j$ を満たす。ここで $a_j, b_i$ はそれぞれ $A$ と $A^t$ の正規化されたペロン＝フロベニウス固有ベクトルである。
• $\widetilde{\mathcal{R}}_A$ のK理論は、行列 $A$ のみに依存する完全に表現可能な計算可能な位相的同相性不変量を提供する。
• 漸近的ルーヴェ代数 $\mathcal{R}_A$ とその円周作用も位相的同相性を特徴付けるが、拡張版 $\widetilde{\mathcal{R}}_A$ はより豊かなトーラス対称性のおかげで、より強く完全な不変量を提供する。