[論文レビュー] Topological Connectedness and Behavioral Assumptions on Preferences: A Two-Way Relationship

M. Ali Khan, Metin Uyanık|RePEc: Research Papers in Economics|Oct 3, 2018

Economic theories and models被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、二元的選択モデルにおける好みの整合性・完全性と位相的連結性の間の双方向的関係を確立する。連続性と連結性のもとで、推移性と完全性は論理的帰結として生じる。本稿は、k-連結性の新しい特徴付けと、好みの表現に与える影響を通じて、ミクロ経済学理論における長年の問いを解決する。

ABSTRACT

This paper offers a comprehensive treatment of the question as to whether a binary relation can be consistent (transitive) without being decisive (complete), or decisive without being consistent, or simultaneously inconsistent or indecisive, in the presence of a continuity hypothesis that is, in principle, non-testable. It identifies topological connectedness of the (choice) set over which the continuous binary relation is defined as being crucial to this question. Referring to the two-way relationship as the Eilenberg-Sonnenschein (ES) research program, it presents four synthetic, and complete, characterizations of connectedness, and its natural extensions; and two consequences that only stem from it. The six theorems are novel to both the economic and the mathematical literature: they generalize pioneering results of Eilenberg (1941), Sonnenschein (1965), Schmeidler (1971) and Sen (1969), and are relevant to several applied contexts, as well as to ongoing theoretical work.

研究の動機と目的

• 連続性のもとで、好みが完全でないまま整合的であることは可能か、あるいは整合的でないまま完全であることは可能か、という基礎的問いを解消すること。
• 好み関係における位相的連結性と行動的公理（推移性、完全性）の論理的相互作用を調査すること。
• エイレンバーグ、ゾンネンシュタイン、シュマイドル、セーンの古典的結果を位相的道具を用いて一般化・統一すること。
• 連続性と連結性が同時に完全性と推移性を強制する状況を理解する包括的な枠組みを提供すること。
• k-連結性の新しい特徴付けと、経済モデルにおける好みの表現に与える影響を確立すること。

提案手法

• 選択集合の位相的性質としてのk-連結性を導入・分析し、連結性および2-連結性を一般化する。
• 商位相の技術を適用して、複雑な好み関係を商空間上の単純化された反対称形に還元する。
• 連続双対表現および断片閉包性質を用いて、好み関係の位相的構造を分析する。
• 完全性と推移性の間をつなぐ中間的条件として、準推移性および擬似推移性を用いる。
• エイレンバーグ＝ゾンネンシュタイン研究計画を応用し、連続性、連結性、好み公理の相互依存性に関する6つの新しい定理を導出する。
• 位相的分離公理および開／閉断片性質を用いて、同値関係によって誘導される商空間上での関係の反対称性と連続性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 選択集合が位相的に連結であるとき、連続な二元関係が完全でないまま推移的であるか、あるいは推移的でないまま完全であることは可能か？
• RQ2 どのような位相的条件が、完全性と連続性が同時に推移性を意味すること、およびその逆を保証するか？
• RQ3 k-連結性（k ≥ 1）は、連結性が好みの整合性と意思決定性を強制する役割をどのように一般化するか？
• RQ4 同値関係によって誘導される同値関係のもとで、商空間の構成が連続性と反対称性をどのように保存するか？
• RQ5 完全性と推移性が論理的帰結として生じるための最小限の位相的および行動的仮定は何か？

主な発見

• 位相的連結性と連続性のもとで、完全性は推移性を含意する。これはエイレンバーグ（1941）およびゾンネンシュタイン（1965）の結果を一般化する。
• 推移性と非自明性は完全性を含意する。これはシュマイドル（1971）の結果を位相的に連結な空間へと拡張する。
• 本稿は、k-連結性およびその拡張に関する4つの新しい特徴付けを提供する。これらは経済学および位相数学の両分野において画期的である。
• 連続的で完全かつ準推移的な関係は、商空間上で反対称的かつ連続的な関係を誘導し、重要な好みの性質を保存する。
• 本稿は、特定の構成のもとで強い分離性が成立しないことを示し、好みの表現において連結性の必要性を示している。
• 結果として、連結な位相空間では、連続性と連結性が同時に、あいまいなまたは整合的でない好みの可能性を排除することが示された。