[論文レビュー] Topological crystalline superconductors with linearly and projectively represented $C_{n}$ symmetry

Chen Fang, B. Andrei Bernevig+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 8, 2017

Topological Materials and Phenomena被引用数 13

ひとこと要約

この論文は、$C_n$回転対称性を持つトポロジカル結晶的超伝導体を分類し、回転の線形表現と射影表現の違いを区別する。1次元および3次元で新しいトポロジカル不変量を同定し、2次元ではチェーン数と回転固有値の関係を確立し、3次元におけるメジャナ状態の有効表面理論を構築する。本研究は、射影表現が時間反転対称性と反可換となる異常な対称性関係を引き起こす可能性があることを明らかにし、従来のTRSに基づく枠組みを越えてトポロジカル超伝導体の分類を豊かにすることを示している。

ABSTRACT

We study superconductors with $n$-fold rotational invariance both in the presence and in the absence of spin-orbit interactions. More specifically, we classify the non-interacting Hamiltonians by defining a series of $Z$-numbers for the Bogoliubov-de Gennes (BdG) symmetry classes of the Altland-Zimbauer classification of random matrices in $1$D, $2$D, and $3$D in the presence of discrete rotational invariance. Our analysis emphasizes the important role played by the angular momentum of the Cooper pairs in the system: for pairings of nonzero angular momentum, the rotation symmetry may be represented projectively, and a projective representation of rotation symmetry may have anomalous properties, including the anti-commutation with the time-reversal symmetry. In 1D and 3D, we show how an $n$-fold axis enhances the topological classification and give additional topological numbers; in 2D, we establish a relation between the Chern number (in class D and CI) and the eigenvalues of rotation symmetry at high-symmetry points. For each nontrivial class in 3D, we write down a minimal effective theory for the surface Majorana states.

研究の動機と目的

• Altland-Zumbauer BdG 対称性クラスを用いて、$n$-重回転対称性を有する非相互作用的超伝導ハミルトニアンを分類すること。
• 1次元、2次元、3次元系において、$C_n$ 対称性の線形表現と射影表現がトポロジカル不変量に与える影響を調査すること。
• 1次元および3次元で強化された $C_n$ 対称性によって生じる新しいトポロジカル不変量を同定し、2次元系において高対称点におけるチェーン数と回転演算子の固有値の関係を特定すること。
• 非自明な $Z$-数を持つ3次元トポロジカル結晶的超伝導体における表面メジャナ状態の最小有効理論を構築すること。

提案手法

• 離散的回転対称性を有する BdG ハミルトニアンの $Z$-数不変量を定義するために、ランダム行列アンサンブルの Altland-Zumbauer 分類を用いる。
• コープァー対の角運動量が $C_n$ 対称性の線形表現か射影表現かを決定することに果たす役割を分析する。
• 群表現理論を適用して、射影表現が時間反転対称性と反可換となる可能性があり、これが異常なトポロジカル性質を引き起こすことを示す。
• 2次元系において $C_n$ 対称性の下で、チェーン数と高対称点における回転演算子の固有値の関係を導出する。
• バルク-境界対応および対称性保護の観点から、3次元トポロジカル結晶的超伝導体の表面理論を構築する。
• 特に $C_\infty$ 限界において、モーメンタム空間でのウィルソンループおよびベリー曲率技術を用いてトポロジカル不変量を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 射影表現として実現される $C_n$ 回転対称性が、超伝導体のトポロジカル分類にどのように影響を与えるか？
• RQ2 1次元および3次元の超伝導体において、$C_n$ 対称性がもたらす新しいトポロジカル不変量は何か？ また、それらはコープァー対の角運動量とどのように関係しているか？
• RQ3 2次元系において、高対称点における回転演算子の固有値とチェーン数の関係は何か？
• RQ4 $C_n$ の射影表現は、時間反転対称性が保存されている場合でも、非自明なトポロジカル不変量を生じうるか？
• RQ5 非自明な $Z$-数を持つ3次元トポロジカル結晶的超伝導体における表面メジャナ状態の構造は何か？

主な発見

• 1次元および3次元系において、$n$-重回転対称性はトポロジカル分類を強化し、回転対称性がない場合に比べて追加の $Z$-数不変量を導入する。
• 2次元系において、クラス D および CI 超伝導体のチェーン数は、高対称点における回転演算子の固有値と直接関係している。
• $C_n$ 対称性の射影表現は、時間反転対称性と反可換となる異常な関係を示す可能性があり、非自明なトポロジカル性質を示唆する。
• 3次元系の非自明なトポロジカルクラスごとに、表面メジャナ状態を記述する最小有効理論を著者らが構築した。これらの状態は $C_n$ 対称性によって保護されている。
• ウィルソンループが $C_\infty$ 限界において、$k=0$ と $k=\infty$ における角運動量量子数の差に等しいチェーン数をもたらすことが示され、モーメンタム空間幾何学を通じてトポロジカル不変量が確認された。
• 非自明な $C_n$ 対称性の射影表現の存在が、従来のTRSに基づく分類では捉えきれない別個のトポロジカル位相を生じることを本論文は確立した。