[論文レビュー] Topological Data Analysis of Financial Time Series: Landscapes of Crashes

Marian Gidea, Yuri A. Katz|RePEc: Research Papers in Economics|Mar 13, 2017

Topological and Geometric Data Analysis被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、米国株価指数の多次元時系列データに対して、持久的ランドスケープを用いた位相的データ解析（TDA）フレームワークを提案し、金融市場の崩壊の早期兆候を検出する。スライディングウインドウを用いて4次元の点群を抽出し、1次元の持久的ランドスケープのL^pノルムを計算することで、2000年のドットコムバブル崩壊および2008年のリーマン破綻の250営業日前から、低周波数スペクトル密度およびこれらのノルムの分散に顕著で統計的に有意な上昇が観察された。これは、システム全体の不安定性を示している。

ABSTRACT

We explore the evolution of daily returns of four major US stock market indices during the technology crash of 2000, and the financial crisis of 2007-2009. Our methodology is based on topological data analysis (TDA). We use persistence homology to detect and quantify topological patterns that appear in multidimensional time series. Using a sliding window, we extract time-dependent point cloud data sets, to which we associate a topological space. We detect transient loops that appear in this space, and we measure their persistence. This is encoded in real-valued functions referred to as a 'persistence landscapes'. We quantify the temporal changes in persistence landscapes via their $L^p$-norms. We test this procedure on multidimensional time series generated by various non-linear and non-equilibrium models. We find that, in the vicinity of financial meltdowns, the $L^p$-norms exhibit strong growth prior to the primary peak, which ascends during a crash. Remarkably, the average spectral density at low frequencies of the time series of $L^p$-norms of the persistence landscapes demonstrates a strong rising trend for 250 trading days prior to either dotcom crash on 03/10/2000, or to the Lehman bankruptcy on 09/15/2008. Our study suggests that TDA provides a new type of econometric analysis, which goes beyond the standard statistical measures. The method can be used to detect early warning signals of imminent market crashes. We believe that this approach can be used beyond the analysis of financial time series presented here.

研究の動機と目的

• 多次元金融時系列データに対する位相的データ解析（TDA）を用いて、システミックリスクおよび金融市場崩壊の早期兆候を検出すること。
• 特に持続的ループを含む市場リターンダイナミクスの位相的特徴が、大規模な市場崩壊の前に対応して検出可能な方法で変化するかどうかを調査すること。
• 従来の統計指標（分散や自己相関など）と補完的である、TDAに基づく新しい計量経済学的手法を開発すること。
• 2000年のテックバブル崩壊および2008年の世界的な金融危機という2つの主要な金融危機において、TDAベースの信号のロバスト性および予測能力を検証すること。

提案手法

• 4つの米国株価指数（S&P 500、DJIA、NASDAQ、Russell 2000）の日次リターンの対数変換値に、固定サイズ（w=50日）のスライディングウインドウを適用し、各時刻で4次元の点群を形成する。
• 各点群に対して、複数スケールにわたる位相的特徴、特に1次元のループを検出・定量するため、持久的ホモロジーを計算する。
• 持久的図の機能的要約としての持久的ランドスケープを構築し、そのL^1およびL^2ノルムを、位相的安定性の時間変動型スカラー指標として計算する。
• L^pノルムの時系列に対して、統計的指標（分散、低周波数帯域の平均スペクトル密度、1次ラグ自己相関関数（ACF））を用いて分析する。
• 500日間のローリングウインドウを用いてこれらの統計量を計算し、L^pノルム時系列における単調な傾向を検出するためにマン・ケンダール検定を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 主要な米国株価指数のリターンダイナミクスにおける位相的特徴は、金融市場崩壊の前に対応して検出可能な変化を示すか？
• RQ2 持久的ランドスケープのL^pノルムは、システム的市場ストレスの早期兆候として機能するか？
• RQ3 2000年および2008年の市場崩壊の250日前に、L^pノルム時系列の低周波数帯域におけるスペクトル密度に統計的に有意な上昇傾向があるか？
• RQ4 TDAベースの信号は、ボラティリティ（VIX）や自己相関といった従来の指標と比較して、崩壊予測において優れているか？
• RQ5 点群サイズの変化（50点から100点に倍増）に対して、TDAアプローチはロバストか？

主な発見

• 持久的ランドスケープのL^pノルム時系列は、2000年のドットコムバブル崩壊および2008年のリーマン破綻の両方の前後で顕著な上昇トレンドを示している。
• L^pノルム時系列の低周波数帯域における平均スペクトル密度は、両方の崩壊の250営業日前から統計的に有意な上昇傾向を示しており、ケンダール-tau相関係数はそれぞれ0.89および1.00であった。
• L^pノルム時系列の分散も、崩壊前期間において顕著に増加しており、位相的構造の不安定性の増大を示している。
• L^pノルムの1次ラグ自己相関関数（ACF）には、崩壊の前段階で顕著な傾向が認められず、信号が線形依存性によって駆動されているわけではないことが示唆された。
• 2000年の崩壊状況では、VIXが変動性を低下させているのに対し、L^pノルムのスペクトル密度は依然として強く上昇していたため、TDAベースの早期警戒信号はVIXを上回る性能を示した。
• 点群サイズを2倍にした場合でも、同様に信号の安定性が保たれており、微小なデータ摂動に対しても位相的信号のロバスト性が確認された。