[論文レビュー] Topological entanglement entropy relations for multi phase systems with interfaces

F.A. Bais, J. K. Slingerland|arXiv (Cornell University)|Jun 10, 2010

Quantum many-body systems被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、ボーズ凝縮によって駆動される相転移を伴う2次元トポロジカルな物質相における界面を有するトポロジカルなもつれエントロピー（TEE）の正確な関係を導出する。量子埋め込み指数 $ q = D_A / D_U $ を導入し、相の間でのTEEの変化が $ \gamma_A - \gamma_U = \log q $ であることを示し、対称性の破れによるトポロジカルな秩序の低下を正確に測定する手法を提供する。

ABSTRACT

We study the change in topological entanglement entropy that occurs when a two-dimensional system in a topologically ordered phase undergoes a transition to another such phase due to the formation of a Bose condensate. We also consider the topological entanglement entropy of systems with domains in different topological phases, and of phase boundaries between these domains. We calculate the topological entropy of these interfaces and derive two fundamental relations between the interface topological entropy and the bulk topological entropies on both sides of the interface.

研究の動機と目的

• 2次元トポロジカルな系におけるドメインウォールを介して分離された相境界を越えて、トポロジカルもつれエントロピー（TEE）がどのように変化するかを理解すること。
• ボーズ凝縮によって接続された2つのトポロジカルな物質相の間の界面のTEEを特徴付けること。
• 界面のTEEと2つの相のバルクTEEとの間の基本的関係を導出すること。
• トポロジカルな対称性の破れを伴う相転移におけるトポロジカル秩序の損失を捉えるための定量的指標、すなわち量子埋め込み指数 $ q $ を確立すること。

提案手法

• 元のトポロジカルな物質相 $ A $、界面を記述する中間の融合代数 $ T $、凝縮相 $ U $ の3段階の枠組みを用いる。
• 融合セクター $ A $、$ T $、$ U $ 間の制限写像と持ち上げ写像を適用し、整数係数 $ n^t_a $ と $ n^a_t $ を用いて、融合則と量子次元保存則と整合性を保つ。
• 量子埋め込み指数 $ q = \sum_a n^a_t d_a / d_t $ を定義し、$ t \in T $ の選択に依存しないことを証明し、$ q = D_A / D_U $ を示す。
• 融合行列のペロン＝フロベニウス固有ベクトルを用いて、$ B\omega_A = q\omega_T $ が成り立つことを証明し、$ q = D_A^2 / D_T^2 $ を得る。
• 重要な関係式 $ D_T^2 = D_A D_U $ を導出し、$ q = D_A^2 / D_T^2 $ と組み合わせることで $ q = D_A / D_U $ を得る。これにより、エントロピー変化 $ \gamma_A - \gamma_U = \log q $ が確認される。
• 高度な圏論を避け、物理的直感と初等的な代数的手法を用いてエントロピー関係を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 トポロジカルな物質相がボーズ凝縮を経て相転移を起こす場合、トポロジカルもつれエントロピーはどのように変化するか？
• RQ2 2つのトポロジカルな物質相がドメインウォールで分離された界面におけるトポロジカルもつれエントロピーの正確な値は何か？
• RQ3 界面のTEEは、転移に参加する2つの相のバルクTEEとどのように関係しているか？
• RQ4 このような相転移におけるトポロジカル秩序の低下を捉えることができる普遍的な量を定義できるか？
• RQ5 融合係数と量子次元によって定義される量子埋め込み指数 $ q $ は、界面における任意の任意の粒子セクターの選択に依存しないか？

主な発見

• 元の相 $ A $ と凝縮相 $ U $ 間のトポロジカルもつれエントロピーの変化は、正確に $ \gamma_A - \gamma_U = \log q $ であり、ここで $ q = D_A / D_U $ である。
• 量子埋め込み指数 $ q = \sum_a n^a_t d_a / d_t $ は、界面における任意の任意の粒子セクター $ t $ の選択に依存しない。
• 関係式 $ D_T^2 = D_A D_U $ が成り立ち、ここで $ D_T $ は中間の融合代数 $ T $ の量子次元であり、3つの相を結ぶ。
• 量 $ q $ は $ q = D_A^2 / D_T^2 $ を満たし、これは融合行列のペロン＝フロベニウス固有ベクトル構造を用いて導出される。
• 界面のTEEは、バルクTEEと量子埋め込み指数 $ q $ によって完全に決定され、追加の自由パラメータは存在しない。
• この結果により、2次元系におけるトポロジカルな対称性の破れ相転移におけるトポロジカル秩序の低下を、摂動に依存しない強固な指標として提供する。