[論文レビュー] Topological Entanglement Renyi Entropy and Reduced Density Matrix Structure

Steven T. Flammia, Alioscia Hamma+2 more|DSpace@MIT (Massachusetts Institute of Technology)|Sep 17, 2009

Neural dynamics and brain function被引用数 15

ひとこと要約

この論文は、トポロジカルに秩序された相のより深い普遍的構造を調査するために、パrameter α でパrameter化された Rényi エントロピーに、トポロジカルなエンタングルメント・エントロピーを一般化する。非ホロナルなトポロジカル秩序相において、すべての Rényi エントロピーが α に依存せず同一であることが判明した。これは、縮約密度行列が均一なトポロジカル成分を有する単純なテンソル積構造を持つことを示し、したがって、保存量子数が存在しない限り、エンタングルメントスペクトルから追加の普遍的情報を得ることはできないことを意味する。

ABSTRACT

We generalize the topological entanglement entropy to a family of topological Renyi entropies parametrized by a parameter alpha, in an attempt to find new invariants for distinguishing topologically ordered phases. We show that, surprisingly, all topological Renyi entropies are the same, independent of alpha for all non-chiral topological phases. This independence shows that topologically ordered ground-state wavefunctions have reduced density matrices with a certain simple structure, and no additional universal information can be extracted from the entanglement spectrum.

研究の動機と目的

• 標準的な von Neumann エントロピーを超えて、トポロジカルに秩序された相を区別できる一般化されたトポロジカル・エンタングルメント Rényi エントロピーを開発すること。
• パラメータ α を変化させた Rényi エントロピーが、エンタングルメントスペクトルから追加の普遍的情報を抽出できるかを調査すること。
• トポロジカルに秩序された系における縮約密度行列の構造が、量子次元 D よりも多くの情報を符号化しているかを特定すること。
• 保存量子数を考慮しない場合、エンタングルメントスペクトルが非ホロナルなトポロジカル秩序相において、量子次元を超える普遍的不変量を含むかどうかを明確にすること。

提案手法

• 著者らは、密度行列 ρ に対して Rényi エントロピー Sα(ρ) = 1/(1−α) log[Tr(ρ^α)] を定義し、α→1 の極限で von Neumann エントロピーに一般化する。
• すべての非ホロナルなトポロジカル秩序相を実現する厳密に可解なストリングネット模型および量子双対模型に対して、Rényi エントロピーを計算する。
• 部分系 A の縮約密度行列 ρA を導出し、ρA = Q_A ⊗ ρ_top ⊗ ρ_bulk と分解されることを示す。ここで ρ_top は境界上で完全に混合された状態で、均一な固有値を持つ。
• トポロジカル寄与が ρ_top のみに起因し、非ゼロ固有値が等しいことから、α に依存しないことを示す。
• 量子双対模型における群論的構成を用いて、エンタングルメント・エントロピーを明示的に計算し、それが唯一 |G_AB|、すなわちゲージ群のサイズに依存することを示す。
• トポロジカル部分が最大に混合されている、すなわちその台において恒等演算子に比例していることから、Rényi エントロピーが α に依存しないことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 パラメータ α を持つ Rényi エントロピーは、量子次元 D を超えてトポロジカル秩序に関する追加の普遍的情報を提供するか？
• RQ2 トポロジカルに秩序された系における縮約密度行列の構造は、合計の量子次元よりも多くの情報を明らかにするか？
• RQ3 非ホロナルなトポロジカル秩序相において、トポロジカルな Rényi エントロピーは α に依存するか？
• RQ4 保存量子数を考慮しない場合、エンタングルメントスペクトルはトポロジカル相の分類において果たす役割は何か？
• RQ5 テンソル積構造 ρA = ⊗ρ_i ⊗ ρ_top は、トポロジカル・エンタングルメント・エントロピーの普遍性を説明できるか？

主な発見

• 非ホロナルなトポロジカル秩序相において、すべての Rényi エントロピー Sα は同一であり、Rényi パarameter α に依存しない。
• Rényi エントロピーにおけるトポロジカル寄与は、量子次元 D のみに依存し、S_top = log D である。
• 部分系 A の縮約密度行列 ρA は、ρA = Q_A ⊗ ρ_top ⊗ ρ_bulk と分解され、ρ_top は均一な非ゼロ固有値を持つ完全に混合された状態である。
• Rényi エントロピーの α に依存しない性質は、トポロジカル部分 ρ_top が均一な非ゼロ固有値を持つことから生じ、Tr(ρ_top^α) が α に依存しないことによる。
• トポロジカルに秩序された系の基底状態におけるエンタングルメント・エントロピーは、境界自由度に完全に符号化されており、バルクは純粋状態のみを寄与する。
• 追加の保存量子数を考慮しない限り、エンタングルメントスペクトルからトポロジカル秩序に関する追加の普遍的情報を得ることはできない。