[論文レビュー] Topological Entropy and bulging deformation of real projective structures on surface

Patrick Foulon, Инканг Ким|arXiv (Cornell University)|Aug 24, 2016

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 8被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、閉じた曲面上の厳密凸な実射影構造における測地線流の位相的エントロピーを、ぶつかり変形（bulging deformations）を用いて考察する。ぶつかり変形とは、単純閉曲線に沿った連続的変形であり、中立的固有ベクトルの方向に領域を引き伸ばすものである。主な結果は、(0,1) 内の任意の値に収束するように、このような構造の発散列を構成できることであり、制御可能な変形パラメータを用いることで、区間内に稠密なエントロピー値を実現することを示している。

ABSTRACT

In this paper we study the deformation of strictly convex real projective structures on a closed surface. Specially we study the deformation in terms of the entropy on bulging deformations. As a byproduct we construct a sequence of divergent structures whose topological entropy converges to a designated number between 0 and 1.

研究の動機と目的

• 厳密凸な実射影構造上の測地線流の力学的挙動を位相的エントロピーを用いて分析すること。
• 分離するおよび非分離する単純閉曲線に沿ったぶつかり変形における、このような構造の極限挙動を理解すること。
• 指定された値 α ∈ (0,1) に収束するように、発散する実射影構造の列を構成すること。
• 内部パラメータの代わりにぶつかり（縦方向の）パラメータを用いることで、既知のエントロピー収束結果を拡張すること。

提案手法

• Goldman が定義するぶつかり変形を用い、曲面のパンツ分解に沿って、縦（ぶつかり）パラメータ s でパrameter化された連続的変形族を構成する。
• s → ±∞ のときの厳密凸領域の Gromov-Hausdorff 極限を分析し、非厳密凸構造に収束し、半開シリンダーまたは完全なシリンダーが付加されることを示す。
• パンツ内の閉測地線の数え上げの成長率に対する推定を用いて、全曲面の位相的エントロピーを評価する。
• S\P 内の曲線の長さがぶつかり変形で不変であることに着目し、ここでは変化させない内部パラメータ（ここでは変化しない）を用いて長さを調整し、エントロピーを制御可能であることを示す。
• M_s, q_s, r_s を含む漸近的推定を適用し、非パンツ領域からのエントロピー寄与が極限で消えることを示す。
• ハイパーオリック構造から低エントロピーのパンツへの経路を組み合わせ、パラメータ空間におけるエントロピーの連続性を活用して、対角列を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 分離する曲線 γ 沿いにぶつかりパラメータ s → ∞ としたとき、厳密凸な実射影構造の位相的エントロピーはどのように変化するか？
• RQ2 任意の値 α ∈ (0,1) に収束するように、発散する実射影構造の列を構成できるか？
• RQ3 s → ±∞ のとき、ぶつかり変形における領域の極限構造は、特に凸性と幾何学的性質に関してどのように振る舞うか？
• RQ4 s → ∞ のとき、全曲面の位相的エントロピーは、パンツ分解における個々のパンツ上のエントロピーの最大値に収束するか？
• RQ5 ぶつかり変形プロセス中、位相的エントロピーは単調増加（または単調減少）であるか？

主な発見

• 分離する曲線 γ 沿いに s → ∞ としたとき、S\γ の一方の成分における厳密凸構造は、無限体積の非厳密凸構造に収束し、半開シリンダーが付加される。
• s → -∞ のとき、極限構造では γ の軸が境界上にあり、有限シリンダーが表面に付加される。
• 非分離曲線の場合は、γ の各コピーに沿ってシリンダーが付加される。
• s → ∞ のとき、全曲面における位相的エントロピーは、パンツ分解における個々のパンツ上の位相的エントロピーの最大値に収束する。
• 任意の指定値 α ∈ (0,1) に収束するように、発散する実射影構造の列が存在し、低エントロピーのパンツとぶつかり変形を組み合わせた対角論法により示される。
• パンツ分解に含まれない測地線からの寄与は、エントロピー推定において消えることが確認され、エントロピーが漸近的にパンツに依存することを裏付けた。