[論文レビュー] Topological Entropy Bounds for Switched Linear Systems with Lie Structure

James Schmidt|arXiv (Cornell University)|Oct 9, 2016

Control and Stability of Dynamical Systems被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、基礎となるリー代数の可解性と固有値に基づく解析を活用して、リー構造を有するスイッチング線形系の位相的エントロピーに対する上界を確立する。『活性化の上界平均時間』を導入し、リャプノフ型関数と多項式バウンドを用いた成長率解析により、エントロピーが系の三角化構造に沿った固有値の正の部分の和によって上から抑えられることを証明する。

ABSTRACT

In this thesis, we provide an initial investigation into bounds for topological entropy of switched linear systems. Entropy measures, roughly, the information needed to describe the behavior of a system with finite precision on finite time horizons, in the limit. After working out entropy computations in detail for the scalar switched case, we review the linear time-invariant nonscalar case, and extend to the nonscalar switched case. We assume some commutation relations among the matrices of the switched system, namely solvability, define an upper average time of activation quantity and use it to provide an upper bound on the entropy of the switched system in terms of the eigenvalues of each subsystem.

研究の動機と目的

• スイッチング線形系における位相的エントロピーを、特に部分系行列が可解リー代数を生成する場合に調査すること。
• スカラーおよび時不変線形系におけるエントロピーの上界を、より複雑なスイッチング非スカラー系へと拡張すること。
• 同時三角化可能性や固有値分解などの構造的性質を用いて、計算可能なエントロピーの上界を導出すること。
• 新規に定義された『活性化の上界平均時間』という指標を用いて、スイッチング周波数と活性化時間分布がエントロピー成長に与える役割を形式化すること。
• 力学系理論、制御理論、リー代数理論の概念を統合し、スイッチング系における複雑性を分析すること。

提案手法

• 系の軌道を時間とともに近似するために必要な被覆集合の指数的増加率として位相的エントロピーを定義する。
• $(T,\varepsilon)$-spanning集合によるエントロピーの定義を適用し、状態空間におけるグリッド被覆の議論を構築する。
• 解の分離を制御し、成長率を制御するために時変リャプノフ関数 $\eta_{n-i}(t)$ を導入する。
• 部分系の成分に対して帰納法を用い、多項式および指数関数的項を組み込んだ状態遷移行列のノルムを上から抑える。
• 正の固有値部分 $\mathfrak{h}_i^+$ と摂動項 $q(\delta)\delta$ に依存する指数関数的項を用いて、$(T,\varepsilon)$-spanning点の数のバウンドを導出する。
• 時間 $T$ における対数的成長率をとり、上付き極限を適用し、$ \delta > 0 $ における下限を取ることで摂動項を厳密に除去し、明確な固有値に基づく上界を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スイッチング線形系の位相的エントロピーは、その部分系行列のリー代数構造にどのように依存するか？
• RQ2 系行列が同時に三角化可能であり、リー代数が可解である場合に、エントロピーの上界を導出できるか？
• RQ3 各部分系の活性化平均時間は、エントロピー成長にどのような役割を果たすか？
• RQ4 解のノルムに現れる多項式的および指数的項をどのように制御すれば、有限のエントロピー上界が得られるか？
• RQ5 スイッチング周波数を除き、個々の部分系の固有値のみを用いて、スイッチング系のエントロピーをどの程度まで上から抑えられるか？

主な発見

• 可解リー代数を有するスイッチング線形系の位相的エントロピーは、部分系行列の固有値の正の部分の和によって上から抑えられる。
• 上界は、スイッチング周波数の影響を捉える新規な『活性化の上界平均時間』指標を用いて導出された。
• リー代数が可解でかつ個々の部分系が安定である限り、スイッチング信号に依存しない。
• エントロピーの上界は $ h(A_{\sigma}) \leq \sum_{i=1}^{n} (\mathfrak{h}_1^+ + \cdots + \mathfrak{h}_i^+) $ として表され、ここで $ \mathfrak{h}_i^+ $ は固有値の正の部分である。
• $ \delta > 0 $ における下限を取ることで、摂動項を厳密に除去する手続きが厳密に形式化され、上界は鋭く、固有値に依存する。
• 本手法は、スカラーおよび時不変系におけるエントロピー上界を、リー理論的構造を持つスイッチング非スカラー系へと一般化する。