[論文レビュー] Topological entropy for non-uniformly continuous maps

Boris Hasselblatt, Zbigniew Nitecki+1 more|ArXiv.org|Nov 20, 2005

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 11被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、一様連続でない写像について、完全有界な距離空間上での位相的エントロピーを調査し、BowenとFriedlandのエントロピー定義の3つの拡張を比較する。Friedland-Bowen-Dinaburgエントロピー（グラフのコンパactificationに基づく）が、コンパクト部分集合上のsupremumとして定義されるBowenのコンパクト集合エントロピーを支配することを証明し、両者ともBowen-Dinaburgの距離に基づく定義の直接的な拡張と一致することを示す。主な結果は、一様連続性が成立しない場合、これらの不変量が異なり、同じ一様類の中で距離の選び方に依存して値が変化することである。

ABSTRACT

The topological entropy of a continuous self-map of a compact metric space can be defined in several distinct ways; when the space is not assumed compact, these definitions can lead to distinct invariants. The original, purely topological invariant defined by Adler et. al. is infinite if the system has at least one orbit with empty limit set. The Bowen-Dinaburg formulation (based on separated sets) is equivalent to the invariant defined by Friedland (based on a compactification of the inverse limit), and dominates another invariant proposed by Bowen (maximizing dispersion rates for orbits emanating from compact subsets). Examples show that these two invariants are both heavily dependent on the uniform structure induced by the metric used to calculate them.

研究の動機と目的

• 一様連続性が仮定されない非コンパクトで完全有界な距離空間上の連続自己写像の位相的エントロピーを分析すること。
• Bowenのコンパクト集合エントロピー、Friedlandのグラフコンパクト化エントロピー、Bowen-Dinaburgの定義の直接的な距離ベースの拡張という3つのエントロピー定義の拡張を比較・対比すること。
• 写像が一様連続でない場合に、これらのエントロピー定義が一致するか、乖離するかの条件を特定すること。
• 例を通じて、同じ一様同値類内でも距離の選択に依存してエントロピー値が変化しうることを示すこと。
• 元のAdler-Konheim-McAndrewの距離フリー定義が、多くの非コンパクト系では有限エントロピーを生じないため、一般化として不適切であることを示すこと。

提案手法

• 著者たちは、コンパクト距離空間の部分集合 X 上の連続自己写像 f を考える設定で作業しており、X は完全有界ではあるが、必ずしも閉じていないものとする。
• Bowen-Dinaburgの距離ベースの定義を、非コンパクトで完全有界な設定にそのまま拡張し、周囲の空間における (n,ε)-分離集合を用いてエントロピーを定義する。
• Friedlandのエントロピーを、写像 f のグラフのコンパクト化によって定義し、それが拡張されたBowen-Dinaburg定義と一致することを示す。
• Bowenのコンパクト集合エントロピーを、X のすべてのコンパクト部分集合 K におけるBowen-Dinaburgエントロピーの上界と定義する。
• 特に、単位円板の原点付近または境界付近で半径成分を「しわだ」ける（crumpling）変形を施すことで、エントロピー値が変化する例を構成する。
• 動的系として、R 上の写像 x ↦ 2x や、穴あき円板上の平方写像を検討し、異なる埋め込み方におけるエントロピーを分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的なBowen-Dinaburgの距離ベースの位相的エントロピー定義は、非コンパクトで完全有界な距離空間へ意味的に拡張可能か？
• RQ2 一様連続性が欠如する状況下で、Friedlandのグラフコンパクト化エントロピーとBowenのコンパクト集合エントロピーはどのように比較できるか？
• RQ3 距離が一様同値であっても、位相的エントロピーの値が距離の選び方に依存しうるか？
• RQ4 なぜ元のAdler-Konheim-McAndrewの距離フリー定義は、多くの非コンパクト系では有限エントロピーを生じないのか？
• RQ5 写像が一様連続でなく、空間の完備化に連続的に拡張できない場合、エントロピーはどのように変化するか？

主な発見

• 拡張されたBowen-Dinaburgエントロピー（周囲空間における (n,ε)-分離集合による定義）は、Friedlandのグラフコンパクト化エントロピーと一致し、両者ともBowenのコンパクト集合エントロピーを支配する。
• Γ ⊂ (0,1)×S¹ 上で (x,θ) ↦ (x², 2θ mod 1) と定義される写像 G: Γ → Γ に対して、Friedland-Bowen-Dinaburgエントロピーは log N であるが、Bowenコンパクト集合エントロピーは 0 である。
• (0,1)×S¹ 上で f(x,θ) = (x², 2θ mod 1) と定義される写像に対して、|z| = x による埋め込みではFriedland-Bowen-Dinaburgエントロピーは log 2 であるが、Bowenコンパクト集合エントロピーは 0 である。一方、|z| = 1−x による埋め込みでは、両者とも log 2 である。
• 命題8の「しわだ」き構成を適用することで、任意の整数 N ≥ 2 に対して h_BD = h_Bc = log N にできるし、あるいは h_BD = log N かつ h_Bc = 0 にできる。その差は「しわだ」きの適用箇所による。
• Adler-Konheim-McAndrewの距離フリー定義は、広範な非コンパクト例に対して無限大のエントロピーを生じさせ、一般化として不適切であることが示された。
• 本論文は、Bowenのコンパクト集合エントロピーが、コンパクトの場合に成り立つ基本的不変性（例：h(f) = h(f⁻¹)）を満たさないことを示しており、Friedlandのエントロピーとは対照的である。