[論文レビュー] Topological entropy of continuous actions of compactly generated groups

Friedrich Martin Schneider|arXiv (Cornell University)|Feb 13, 2015

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 13被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、コンpact生成トポロジカル群のコンパクトハウスドルフ空間への連続作用に対する新しいトポロジカルエントロピーの概念を導入する。vanishing topological entropy がアメニタリティを意味することを証明し、コンパクト生成局所コンパクト群 $G$ の $L^∞(G)$ の弱-*単位球への標準的作用が、$G$ がコンパクトである場合に限りエントロピーが消えること、$G$ がほとんど連結で非コンパクトである場合には無限大のエントロピーを持つことを確立する。

ABSTRACT

We introduce a notion of topological entropy for continuous actions of compactly generated topological groups on compact Hausdorff spaces. It is shown that any continuous action of a compactly generated topological group on a compact Hausdorff space with vanishing topological entropy is amenable. Given an arbitrary compactly generated locally compact Hausdorff topological group $G$, we consider the canonical action of $G$ on the closed unit ball of $L^{1}(G)' \cong L^{\infty}(G)$ endowed with the corresponding weak-$^{\ast}$ topology. We prove that this action has vanishing topological entropy if and only if $G$ is compact. Furthermore, we show that the considered action has infinite topological entropy if $G$ is almost connected and non-compact.

研究の動機と目的

• コンパクト生成トポロジカル群のコンパクトハウスドルフ空間への連続作用に対するトポロジカルエントロピーの概念を拡張すること。
• vanishing topological entropy と群作用のアメニタリティとの間の関係を確立すること。
• コンパクト生成局所コンパクト群 $G$ が $L^\infty(G)$ の弱-*単位球への標準的作用のトポロジカルエントロピーを特徴づけること。
• 群の構造に基づいて、この標準的作用が何时にエントロピーが消えたり無限大になったりするかを特定すること。

提案手法

• 有限開被覆とそのリファインメントを用いて、コンパクト生成トポロジカル群のコンパクトハウスドルフ空間への連続作用に対する新しいトポロジカルエントロピーの定義を導入する。
• 群作用下での開被覆の $S^n$-リファインメントの概念を適用し、被覆複雑度の増大を測定する。
• 双対空間 $L^1(G)' \cong L^\infty(G)$ を用い、閉単位球に弱-*位相を導入して、$G$ の標準的作用を定義する。
• コンパクト生成集合 $S$ を用い、被覆数 $(S^n:\mathcal{V})_\alpha$ の増大率を分析して、エントロピー量 $\eta(\alpha,S,\mathcal{V})$ を定義する。
• コンパクト集合が生成集合の高次の内部に含まれることを保証するため、補題2.2を適用する。
• ほとんど連結群の構造と、単位近傍 $U$ に対して $\bigcup_n U^n$ が非コンパクトであることを利用し、リファインメント複雑度が指数関数的に増大する被覆を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクト生成トポロジカル群のコンパクトハウスドルフ空間への連続作用について、vanishing topological entropy はアメニタリティを意味するか？
• RQ2 コンパクト生成局所コンパクト群 $G$ の $L^\infty(G)$ の弱-*単位球への標準的作用において、トポロジカルエントロピーが何時消えるか？
• RQ3 この標準的作用がいつ無限大のトポロジカルエントロピーを持つのか？
• RQ4 この標準的作用のトポロジカルエントロピーは、$G$ のコンパクト性とどのように関係するか？
• RQ5 $G$ のほとんど連結性とその標準的作用のエントロピーの関係は何か？

主な発見

• コンパクト生成トポロジカル群のコンパクトハウスドルフ空間への連続作用のトポロジカルエントロピーが消えることは、その作用がアメニタリティをもつことを意味する。
• コンパクト生成局所コンパクトハウスドルフ群 $G$ が $L^\infty(G)$ の弱-*単位球への標準的作用 $\alpha$ は、$G$ がコンパクトであることと同値に、トポロジカルエントロピーが消える。
• もし $G$ がほとんど連結で非コンパクトであれば、標準的作用 $\alpha$ は無限大のトポロジカルエントロピーを持つ。
• 任意の非コンパクト $G$ に対して、二要素の開被覆 $\mathcal{V}$ が存在し、$\eta(\alpha,S,\mathcal{V}) \geq \frac{1}{2k}$ を満たす。ここで $k$ は $S^n$ が単位近傍となる最小の $n$ である。
• ほとんど連結で非コンパクトな $G$ に対して、エントロピー量 $\eta(\alpha,S,\mathcal{V})$ は任意に大きくできるため、無限大のトポロジカルエントロピーが証明される。