[論文レビュー] Topological Entropy of Free Product Automorphisms

Nathanial P. Brown, Kenneth J. Dykema+1 more|ArXiv.org|Aug 16, 2000

Advanced Operator Algebra Research参考文献 17被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、有限次元C*-代数を共有して結合された2つの自己同型の自由積の位相的エントロピーが、個々のエントロピーの最大値に正確に一致することを確立している。すなわち、ht(α*β) = max(ht(α), ht(β)) である。自由確率論とCuntz–Pimsner C*-代数の構成を用いて、この結果を証明しており、その結果、自由シフトはゼロエントロピーを有すること、O∞およびO₂へのエントロピーを保存する埋め込みが可能であることが示され、任意の分離可能かつ純粋に無限大の核的C*-代数が、[0, ∞] 内の任意の指定されたエントロピー値を有する自己同型をもつことを示している。

ABSTRACT

Using free probability constructions involving Cuntz-Pimsner C*-algebras we show that the topological entropy of the free product of two automorphisms is equal to the maximum of the individual entropies. As applications we show that general free shifts have entropy zero. We show that any nuclear C*-dynamical system admits an entropy preserving covariant embedding into the Cuntz algebra on infinitely many generators. It follows that any simple nuclear purely infinite C*-algebra admits an automorphism with any given value of entropy. As a final application we show that if two automorphisms satisfy a CNT-variational principle then so does their free product.

研究の動機と目的

• C*-代数上の自己同型の自由積における位相的エントロピーの振る舞いを特定すること。
• 自己同型の個々の成分に対してConnes–Narnhofer–Thirring (CNT) 変分原理が成り立つならば、自由積自己同型に対しても同様に成り立つかを検討すること。
• 分離可能かつ核的なC*-動的系をCuntz代数O∞およびO₂にエントロピーを保存する共変埋め込みとして確立すること。
• 与えられたC*-代数の自己同型が取りうるエントロピー値の集合を特徴づけること、特に核的かつ純粋に無限大のC*-代数に対して。

提案手法

• O₂およびO∞の構造を活用して、状態を伴うC*-代数の自由積からCuntz–Pimsner C*-代数を構成する。
• 正確性および核的性の性質を用いて、自由積に沿ったエントロピーを分析するための自由確率論的手法を適用する。
• Universal Coefficient TheoremおよびKirchberg–Phillips分類を用いて、得られたC*-代数がO∞に同型であることを特定する。
• クローズド積およびユニタリ実装によるエントロピーを保存する共変埋め込みを用いて、エントロピー情報を移転する。
• 不変状態の上界においてエントロピーの等式が成り立つことを確認することで、自由積に対してCNT変分原理を適用する。
• 内部自己同型の自由積における作用を分析し、積のエントロピーと成分のエントロピーとの関係を関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限次元C*-代数を共有して結合された自己同型α*βの自由積の位相的エントロピーは何か？
• RQ2 自己同型αおよびβに対してCNT変分原理が成り立つならば、自由積α*βに対しても同様に成り立つか？
• RQ3 任意の分離可能かつ核的なC*-動的系は、O∞またはO₂にエントロピーを保存する共変埋め込みとして埋め込めるか？
• RQ4 与えられたC*-代数の自己同型が実現できる位相的エントロピーの可能な値は何か。特に核的かつ純粋に無限大のC*-代数に対して。

主な発見

• 有限次元C*-代数を共有して結合された自己同型の自由積α*βの位相的エントロピーは、正確にmax(ht(α), ht(β))に一致する。
• 自由積 *_{i∈ℤ}(A,ϕ) の自由シフトは、主結果の直接の帰結として位相的エントロピーがゼロである。
• 任意の分離可能かつ核的なC*-動的系は、エントロピーを保存する形でO∞に共変に埋め込める。
• O∞の自己同型が取りうるエントロピー値の集合は、正確に[0, ∞]である。すなわち、TE(O∞) = [0, ∞]。
• 任意の分離可能かつ核的かつ純粋に無限大の単純C*-代数Bは、TE(B) = [0, ∞] を満たしており、非負の任意のエントロピー値を有する自己同型をもつ。
• αおよびβがCNT変分原理を満たすならば、α*βに対しても同様に成り立つ。これにより、自由積においてもこの原理が保存されることが示された。