[論文レビュー] Topological entropy of Lorenz-like flows

Jiagang Yang|arXiv (Cornell University)|Dec 3, 2014

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 17被引用数 11

ひとこと要約

この論文は、C¹ フローにおけるローレンツ型クラスがエントロピー拡張的であり、ベクトル場とともに連続的に変化する正の位相的エントロピーを示す。エントロピー理論を用いて、これらのクラスが横断的ホモクライン軌道を含み、一般には吸引子であることを証明し、3次元特異的シンボリック吸引子に関する結果を高次元および一般のロバストな力学系へと拡張する。

ABSTRACT

We use entropy theory as a new tool for studying Lorenz-like classes of flows in any dimension. More precisely, we show that every Lorenz-like class is entropy expansive, and has positive entropy which varies continuously with vector fields. We deduce that every such class contains a transverse homoclinic orbit and, generically, is an attractor.

研究の動機と目的

• エントロピー理論を用いて、高次元フローにおけるローレンツ型クラスの新たな解析的枠組みを構築すること。
• このようなクラスが正の位相的エントロピーを有することを確立し、混沌動的な挙動を示唆すること。
• 準吸引子において、位相的エントロピーがベクトル場とともに連続的に変化することを証明すること。
• 一般的なC¹条件下で、ローレンツ型クラスが一般に吸引子であることを示すこと。
• 3次元特異的シンボリック吸引子を超えて、ロバストなトランスティヴな力学系の理解を拡張すること。

提案手法

• エントロピー理論を用いて、C¹ フローにおけるローレンツ型クラスの位相的エントロピーを分析する。
• エントロピー拡張性の概念を用いて、クラスの近傍における不変集合の複雑さを制御する。
• E^s における一様な収縮と F^{cu} における断面的拡張性を示す断片的双曲的構造（E^s \oplus F^{cu}）を活用する。
• 鎖的再帰的クラスのリャプノフ安定性を利用して、入れ子になった吸引的近傍を構成する。
• 接続補題と λ-補題の議論を用いて、安定多様体と不安定多様体の横断的交わりを示す。
• 残渣的集合の議論（Kupka-Smale、一般性）を用いて、一般条件の下での吸引子構造を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 C¹ フローにおけるすべてのローレンツ型クラスは正の位相的エントロピーを有するか？
• RQ2 ローレンツ型クラスの位相的エントロピーは、ベクトル場の小さなC¹摂動に対して連続的か？
• RQ3 ローレンツ型クラスは必然的に横断的ホモクライン軌道を含むか？
• RQ4 どのような一般的条件下でローレンツ型クラスは吸引子となるか？
• RQ5 エントロピー拡張性の理論は、非孤立的かつ非双曲的不変集合（ローレンツ型クラスなど）に適用可能か？

主な発見

• すべてのローレンツ型クラスは正の位相的エントロピーを有し、混沌動的な挙動の存在を示唆する。
• クラスが準吸引子であり、すべての特異点が双曲的であるとき、ローレンツ型クラスの位相的エントロピーはベクトル場とともに連続的に変化する。
• ローレンツ型クラスは近傍でエントロピー拡張的であり、エントロピー関連の性質の構造的安定性を示唆する。
• すべてのローレンツ型クラスは非自明なホモクラインクラスを含み、横断的ホモクライン軌道の存在を確認する。
• 一般のC¹スター・フローにおいて、非自明なリャプノフ安定な鎖的再帰的クラスはすべてローレンツ型吸引子である。
• 一般のC¹残渣的部分集合において、スター・フローは有限個の吸引子を持ち、それらの基盤は周囲の多様体の開かつ稠密な部分集合を覆う。