[論文レビュー] Topological entropy of minimal geodesics and volume growth on surfaces

Gerhard Knieper, Carlos Ogouyandjou+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 9, 2013

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 7被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、2以上の genus を持つ任意の閉リーマン多様体上の曲面に対して、最小測地線に制限された測地線流れの位相的エントロピーが、その計量の体積エントロピーに等しいことを確立する。体積成長の推定とエントロピー拡張性を用いて、ユニバーサル被覆上での推定を基に、最小測地線の位相的エントロピーを上界と下界から抑え込み、非正曲率の場合の先行結果を一般化し、双曲型曲面へと拡張する。

ABSTRACT

Let (M,g) be a compact Riemannian manifold of hyperbolic type, i.e M is a manifold admitting another metric of strictly negative curvature. In this paper we study the geodesic flow restricted to the set of geodesics which are minimal on the universal covering. In particular for surfaces we show that the topological entropy of the minimal geodesics coincides with the volume entropy of (M, g) generalizing work of Freire and Mane.

研究の動機と目的

• コンパクトなリーマン多様体上の曲面上での最小測地線の位相的エントロピーと体積エントロピーの等価性を確立すること。
• 共役点のない計量に対して成り立っていた Freire と Mañé の結果を、双曲型曲面へと拡張すること。
• 測地線流れが最小測地線に制限された場合、そのエントロピーが計量の体積成長に等しいことを証明すること。
• 最小測地線の非定常集合においてエントロピー拡張性が成立することを示し、これによりエントロピーの等価性を導くこと。

提案手法

• メトリック空間上のホメオモーティズムの位相的エントロピーのBowenの定義を用い、特に単位接束上での測地線流れに適用する。
• 局所的位相的エントロピーを定義し、β-エントロピー拡張性の概念を用いて、ユニバーサル被覆のコンパクト部分集合上での流れの複雑さを制御する。
• ユニバーサル被覆上での体積成長推定を適用し、最小測地線の (n,ε)-分離集合の数を、比較定理およびチューブ近傍内の有限体積成長を用いて抑え込む。
• ユニバーサル被覆上でのグラフ性質に基づく順序付けられた最小測地線の入れ子構造を構築し、それらの不交和性と体積下界を用いて、コンパクト集合内でのこのような測地線の数を制御する。
• 2次元の場合に、β-エントロピー拡張性と体積成長の議論を用いて、最小測地線流れの位相的エントロピーが体積エントロピーによって上界で抑えられることを証明する。
• 最小測地線の非定常集合が不変測度に対して全測度を占めるという事実を用い、全最小測地線流れの位相的エントロピーとその非定常部分のエントロピーを等しくする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 双曲型曲面上で、最小測地線に制限された測地線流れの位相的エントロピーは、体積エントロピーに等しいか？
• RQ2 曲面上の最小測地線に制限された測地線流れは、非定常集合においてβ-エントロピー拡張性を満たすか？
• RQ3 2次元において、最小測地線の位相的エントロピーの上界が体積エントロピーと一致することを示せるか？
• RQ4 非正曲率の場合に成り立っていた位相的エントロピーと体積エントロピーの等価性は、双曲型曲面へと拡張可能か？

主な発見

• 2以上の genus を持つ任意の閉リーマン多様体上の曲面に対して、最小測地線に制限された測地線流れの位相的エントロピーは、計量の体積エントロピーに等しい。
• 最小測地線に制限された測地線流れは、非定常集合においてβ-エントロピー拡張性を満たし、これによりエントロピーの等価性が成立する。
• ユニバーサル被覆上での体積成長推定を用いて、コンパクト集合とチューブ近傍を介し、最小測地線の位相的エントロピーが体積エントロピーによって上界で抑えられる。
• Katok と Hasselblatt の一般的結果により、最小測地線の位相的エントロピーの下界が体積エントロピー以上であることが保証される。
• Finsler計量に対しても、同様の方法を用い、同等のノルムと背景リーマン計量による体積エントロピーの定義を用いることで、結果は拡張可能である。
• 2次元球面や2次元トーラスを含む、すべての閉曲面において、可換被覆への還元または直接計算により、結果は成立する。